Bài tập nâng cao · Bài 114
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 114
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0\,;\,1 \right] $ thỏa mãn $ 3f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )\geq x ^ { 2018 } $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ 3f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )\geq x ^ { 2018 } $, $ ∀x\in \left[ 0\,;1 \right] $$ \Leftrightarrow 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )+x ^ { 3 } .f'\left ( { x } \right )\geq x ^ { 2020 } $$ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $
$\Leftrightarrow [x^3f(x)]'\ge x^{2020}$
$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \int { x ^ { 2020 } { \rm{ d } }x } $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 }+C $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $.
Cho $ x=0\Rightarrow $ $ C=0 $$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 } $,$ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2018 } } { 2021 },\,∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\geq \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2018 } } { 2021 }{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2019 } } { 2019.2021 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 2019.2021 } $.
$ 3f\left ( { x } \right )+xf'\left ( { x } \right )\geq x ^ { 2018 } $, $ ∀x\in \left[ 0\,;1 \right] $$ \Leftrightarrow 3x ^ { 2 } f\left ( { x } \right )+x ^ { 3 } .f'\left ( { x } \right )\geq x ^ { 2020 } $$ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $
$\Leftrightarrow [x^3f(x)]'\ge x^{2020}$
$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \int { x ^ { 2020 } { \rm{ d } }x } $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 }+C $, $ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $.
Cho $ x=0\Rightarrow $ $ C=0 $$ \Rightarrow x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2021 } } { 2021 } $,$ ∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )\geq \frac { x ^ { 2018 } } { 2021 },\,∀x\in \left[ 0\,;\,1 \right] $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }\geq \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2018 } } { 2021 }{ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2019 } } { 2019.2021 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 2019.2021 } $.