Bài tập nâng cao · Bài 115
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 115
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R}\setminus \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\,-1 \end{array} \right \} $ thỏa mãn điều kiện $ f\left ( { 1 } \right )=2ln2 $ và $ x\left ( { x+1 } \right ).f'\left ( { x } \right )+f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } +3x+2 $. Giá trị $ f\left ( { 2 } \right )=a+bln3 $, với$ a,\,b\in \mathbb{Q} $. Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{0,-1\}$, trên đoạn $[1,2]$ ta có
$x(x+1)f'(x)+f(x)=x^2+3x+2$.
Chia hai vế cho $(x+1)^2$:
$\frac{x}{x+1}f'(x)+\frac{1}{(x+1)^2}f(x)=\frac{x+2}{x+1}$,
hay
$\left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]'=\frac{x+2}{x+1}$.
Lấy tích phân từ $1$ đến $2$:
$\left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]_1^2=\int_1^2\frac{x+2}{x+1}\,dx=1+\ln\frac32$.
Vì $f(1)=2\ln2$, suy ra
$\frac23f(2)-\ln2=1+\ln\frac32$,
nên $f(2)=\frac32+\frac32\ln3$. Vậy $a=b=\frac32$ và $a^2+b^2=\frac92$.
$x(x+1)f'(x)+f(x)=x^2+3x+2$.
Chia hai vế cho $(x+1)^2$:
$\frac{x}{x+1}f'(x)+\frac{1}{(x+1)^2}f(x)=\frac{x+2}{x+1}$,
hay
$\left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]'=\frac{x+2}{x+1}$.
Lấy tích phân từ $1$ đến $2$:
$\left[\frac{x}{x+1}f(x)\right]_1^2=\int_1^2\frac{x+2}{x+1}\,dx=1+\ln\frac32$.
Vì $f(1)=2\ln2$, suy ra
$\frac23f(2)-\ln2=1+\ln\frac32$,
nên $f(2)=\frac32+\frac32\ln3$. Vậy $a=b=\frac32$ và $a^2+b^2=\frac92$.