Bài tập nâng cao · Bài 116
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 116
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm liên tục trên $ { \rm{ [ } }0;1] $ thỏa mãn $ f(1)=3,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] } ^ { 2 } dx=\frac { 4 } { 11 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f(x)dx=\frac { 7 } { 11 } } $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x) }dx $ là:
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f(x)dx=\frac { 7 } { 11 } } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=f(x) \\ dv=x ^ { 4 } dx \\ \end{array} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=f'(x)dx \\ v=\frac { x ^ { 5 } } { 5 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f(x)dx=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f(x) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f'(x)dx= }\frac { 7 } { 11 } } $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f'(x)dx }=\frac { f(1) } { 5 }-\frac { 7 } { 11 }=\frac { -2 } { 55 } $
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } dx=\frac { 1 } { 275 } } $
Ta có:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] } ^ { 2 } dx+2.10.\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } }.f'(x)dx+10 ^ { 2 } .\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } \right ) } ^ { 2 } dx=0 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x)+2x ^ { 5 } \right] } ^ { 2 } dx=0 \\ \Rightarrow f'(x)=-2x ^ { 5 } $
Do đó $ f(x)=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+C $. Mà $ f(1)=3 $ nên $ f(x)=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+\frac { 10 } { 3 } $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { (-x ^ { 6 } }+10)dx=\frac { 23 } { 7 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} u=f(x) \\ dv=x ^ { 4 } dx \\ \end{array} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} du=f'(x)dx \\ v=\frac { x ^ { 5 } } { 5 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f(x)dx=\left | { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f(x) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f'(x)dx= }\frac { 7 } { 11 } } $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }.f'(x)dx }=\frac { f(1) } { 5 }-\frac { 7 } { 11 }=\frac { -2 } { 55 } $
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } \right ) ^ { 2 } dx=\frac { 1 } { 275 } } $
Ta có:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] } ^ { 2 } dx+2.10.\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } }.f'(x)dx+10 ^ { 2 } .\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } \right ) } ^ { 2 } dx=0 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x)+2x ^ { 5 } \right] } ^ { 2 } dx=0 \\ \Rightarrow f'(x)=-2x ^ { 5 } $
Do đó $ f(x)=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+C $. Mà $ f(1)=3 $ nên $ f(x)=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+\frac { 10 } { 3 } $
Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }=\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { (-x ^ { 6 } }+10)dx=\frac { 23 } { 7 } $