Bài tập nâng cao · Bài 117
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 117
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ với $ f\left ( { 0 } \right )=f\left ( { 1 } \right )=1. $ Biết rằng: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } \left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx=ae+b, } $ $ a,b\in \mathbb{Z}. $ Giá trị biểu thức $ a ^ { 2019 } +b ^ { 2019 } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } \left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx= }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx= }I_{ 1 } +I_{ 2 } $
Xét:$ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=e ^ { x } \\ dv=f'(x)dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=e ^ { x } dx \\ v=f(x) \end{array} \right. $ khi đó:
$ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx }=\left | { e ^ { x } .f(x) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f\left ( { x } \right )dx }=e.f(1)-f(0)-I_{ 1 } =e-1-I_{ 1 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } \left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx= }I_{ 1 } +I_{ 2 } =I_{ 1 } +e-1-I_{ 1 } =e-1 $.
Suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-1 \end{array} \right.\Rightarrow a ^ { 2019 } +b ^ { 2019 } =1 ^ { 2019 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019 } =1-1=0 $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } \left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx= }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f\left ( { x } \right )dx }+\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx= }I_{ 1 } +I_{ 2 } $
Xét:$ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=e ^ { x } \\ dv=f'(x)dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=e ^ { x } dx \\ v=f(x) \end{array} \right. $ khi đó:
$ I_{ 2 } =\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f'\left ( { x } \right )dx }=\left | { e ^ { x } .f(x) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } .f\left ( { x } \right )dx }=e.f(1)-f(0)-I_{ 1 } =e-1-I_{ 1 } $.
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x } \left[ f\left ( { x } \right )+f'\left ( { x } \right ) \right]dx= }I_{ 1 } +I_{ 2 } =I_{ 1 } +e-1-I_{ 1 } =e-1 $.
Suy ra: $ \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-1 \end{array} \right.\Rightarrow a ^ { 2019 } +b ^ { 2019 } =1 ^ { 2019 } +\left ( { -1 } \right ) ^ { 2019 } =1-1=0 $.