Bài tập nâng cao · Bài 118
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 118
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 1\,;\,3 \right] $ thỏa mãn:$ f\left ( { 4-x } \right )=f\left ( { x } \right ) $, $ ∀x\in \left[ 1\,;\,3 \right] $ và $ \int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $. Gía trị $ 2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { 4-x } \right )=f\left ( { x } \right ) $ và$ \int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { 4-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $.
Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { 4-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $:
Đặt $ t=4-x $ ta được $ x=4-t $$ \Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $.
Khi $ x=1 $thì $ t=3 $, khi $ x=3 $thì $ t=1 $.
Suy ra $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { 4-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 4-t } \right )f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-2 $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { 4f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t-\int _{ 1 }^{ 3 } { tf\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-2 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { 4f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t+2=-2 $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-1 $$ \Rightarrow 2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $.
Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { 4-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $:
Đặt $ t=4-x $ ta được $ x=4-t $$ \Rightarrow { \rm{ d } }x=-{ \rm{ d } }t $.
Khi $ x=1 $thì $ t=3 $, khi $ x=3 $thì $ t=1 $.
Suy ra $ I=\int _{ 1 }^{ 3 } { xf\left ( { 4-x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { \left ( { 4-t } \right )f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-2 $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { 4f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t-\int _{ 1 }^{ 3 } { tf\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-2 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { 4f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t+2=-2 $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ) }{ \rm{ d } }t=-1 $$ \Rightarrow 2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-2 $.