Bài tập nâng cao · Bài 119
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 119
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị âm và có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f'\left ( { x } \right )=\left ( { 2x+1 } \right )\left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } ,∀x\in \mathbb{R} $ và $ f\left ( { 0 } \right )=-1 $. Giá trị của tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
$f'(x)=(2x+1)[f(x)]^2\Rightarrow \left(\frac1{f(x)}\right)'=-(2x+1)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$
Vậy $ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-\int { \left ( { 2x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=-x ^ { 2 } -x+C\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { -x ^ { 2 } -x+C } $.
Do $ f\left ( { 0 } \right )=-1\Rightarrow C=-1 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 } }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 3 } { 4 } }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x+\frac { 1 } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }tant,\,\,t\in \left ( { \frac { -\pi } { 2 }\,;\,\frac { \pi } { 2 } } \right ) $. Suy ra $ I=-\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { 1+tan ^ { 2 } t } \right ) } { \frac { 3 } { 4 }\left ( { 1+tan ^ { 2 } t } \right ) }{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=-\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { { \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=-\frac { \pi \sqrt[] { 3 } } { 9 }. $.
Vậy $ \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }=-\int { \left ( { 2x+1 } \right ) }{ \rm{ d } }x=-x ^ { 2 } -x+C\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { -x ^ { 2 } -x+C } $.
Do $ f\left ( { 0 } \right )=-1\Rightarrow C=-1 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { x ^ { 2 } +x+1 } }{ \rm{ d } }x=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 3 } { 4 } }{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ x+\frac { 1 } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }tant,\,\,t\in \left ( { \frac { -\pi } { 2 }\,;\,\frac { \pi } { 2 } } \right ) $. Suy ra $ I=-\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \frac { \frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { 1+tan ^ { 2 } t } \right ) } { \frac { 3 } { 4 }\left ( { 1+tan ^ { 2 } t } \right ) }{ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=-\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { { \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=-\frac { \pi \sqrt[] { 3 } } { 9 }. $.