Bài tập nâng cao · Bài 120
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 120
Cho hàm số $ f(x) $ liên tục trên $ \left[ -1;2 \right] $ và thỏa mãn điều kiện $ f(x)=\sqrt[] { x+2 }+xf\left ( { 3-x ^ { 2 } } \right ) $.
Tích phân $ I=\int _{ -1 }^{ 2 } { f(x)dx } $ bằng
Tích phân $ I=\int _{ -1 }^{ 2 } { f(x)dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$I=\int_{-1}^{2}\left[\sqrt{x+2}+xf(3-x^2)\right]dx
=\frac{14}{3}+\int_{-1}^{2}xf(3-x^2)\,dx$.
Đặt $t=3-x^2$, $dt=-2x\,dx$. Khi $x=-1$ thì $t=2$, còn khi $x=2$ thì $t=-1$. Vì vậy
$\int_{-1}^{2}xf(3-x^2)\,dx=-\frac12\int_2^{-1}f(t)\,dt=\frac12\int_{-1}^{2}f(t)\,dt=\frac12I$.
Suy ra $I=\frac{14}{3}+\frac12I$, nên $I=\frac{28}{3}$.
$I=\int_{-1}^{2}\left[\sqrt{x+2}+xf(3-x^2)\right]dx
=\frac{14}{3}+\int_{-1}^{2}xf(3-x^2)\,dx$.
Đặt $t=3-x^2$, $dt=-2x\,dx$. Khi $x=-1$ thì $t=2$, còn khi $x=2$ thì $t=-1$. Vì vậy
$\int_{-1}^{2}xf(3-x^2)\,dx=-\frac12\int_2^{-1}f(t)\,dt=\frac12\int_{-1}^{2}f(t)\,dt=\frac12I$.
Suy ra $I=\frac{14}{3}+\frac12I$, nên $I=\frac{28}{3}$.