Bài tập nâng cao · Bài 121
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 121
Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;\,1 \right] $ và $ f\left ( { 1 } \right )=-\frac { 1 } { 18 } $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x.f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 36 } $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $u=x$, $dv=f'(x)\,dx$, nên $du=dx$, $v=f(x)$. Tích phân từng phần cho
$\int_0^1xf'(x)\,dx=[xf(x)]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx=f(1)-\int_0^1f(x)\,dx$.
Theo giả thiết, vế trái bằng $\frac1{36}$ và $f(1)=-\frac1{18}$. Do đó
$\int_0^1f(x)\,dx=-\frac1{18}-\frac1{36}=-\frac1{12}$.
$\int_0^1xf'(x)\,dx=[xf(x)]_0^1-\int_0^1f(x)\,dx=f(1)-\int_0^1f(x)\,dx$.
Theo giả thiết, vế trái bằng $\frac1{36}$ và $f(1)=-\frac1{18}$. Do đó
$\int_0^1f(x)\,dx=-\frac1{18}-\frac1{36}=-\frac1{12}$.