Bài tập nâng cao · Bài 122
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 122
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ thỏa mãn $ 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right )+3f\left ( { 1-x } \right )=\sqrt[] { 1-x ^ { 2 } } $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Lấy tích phân hai vế, ta có $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right )+3f\left ( { 1-x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }\,\,\,\left ( { * } \right ) $.
Xét tích phân $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ x=sint\Rightarrow { \rm{ d } }x=cost{ \rm{ d } }t $. Khi đó, ta có
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 1-sin ^ { 2 } t }.cost{ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { \frac { 1 } { 2 }\left ( { t+\frac { sin2t } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { \pi } { 4 } $.
Xét tích phân $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=x ^ { 2 } \Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x $. Khi đó, ta có
$ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xét tích phân $ L=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=1-x\Rightarrow { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $. Khi đó, ta có
$ L=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=3\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) }=3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Vậy $ \left ( { * } \right )\Leftrightarrow 5\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 20 } $.
Xét tích phân $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ x=sint\Rightarrow { \rm{ d } }x=cost{ \rm{ d } }t $. Khi đó, ta có
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { 1-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 1-sin ^ { 2 } t }.cost{ \rm{ d } }t }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }t }=\left | { \frac { 1 } { 2 }\left ( { t+\frac { sin2t } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { \pi } { 4 } $.
Xét tích phân $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=x ^ { 2 } \Rightarrow { \rm{ d } }t=2x{ \rm{ d } }x $. Khi đó, ta có
$ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { 4x.f\left ( { x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xét tích phân $ L=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x } $. Đặt $ t=1-x\Rightarrow { \rm{ d } }t=-{ \rm{ d } }x $. Khi đó, ta có
$ L=\int _{ 0 }^{ 1 } { 3f\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ d } }x }=3\int _{ 1 }^{ 0 } { f\left ( { t } \right )\left ( { -{ \rm{ d } }t } \right ) }=3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=3\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Vậy $ \left ( { * } \right )\Leftrightarrow 5\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 }\Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 20 } $.