Bài tập nâng cao · Bài 123
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 123
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ biết $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 } $ và $ f'\left ( { x } \right )=xe ^ { x ^ { 2 } } $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right ).{ \rm{ d } }x }=\int { x.e ^ { x ^ { 2 } } { \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int { e ^ { x ^ { 2 } } .{ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }e ^ { x ^ { 2 } } +C $.
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 }+C=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }e ^ { x ^ { 2 } } $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x ^ { 2 } } dx }=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x ^ { 2 } } d\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }=\left | { \frac { 1 } { 4 }e ^ { x ^ { 2 } } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { e-1 } { 4 } $.
Mà $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow \frac { 1 } { 2 }+C=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }e ^ { x ^ { 2 } } $.
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right )dx }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x ^ { 2 } } dx }=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { e ^ { x ^ { 2 } } d\left ( { x ^ { 2 } } \right ) }=\left | { \frac { 1 } { 4 }e ^ { x ^ { 2 } } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { e-1 } { 4 } $.