Bài tập nâng cao · Bài 124
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 124
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ). $ Biết$ f\left ( { 3 } \right )=3 $ và $ xf'\left ( { 2x+1 } \right )-f\left ( { 2x+1 } \right )=x ^ { 3 } ,∀x\in \left ( { 0;+\infty } \right ). $ Giá trị của $ \int _{ 3 }^{ 5 } { f\left ( { x } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $y(x)=f(2x+1)$. Khi đó $y'(x)=2f'(2x+1)$, nên giả thiết tương đương
$\frac{x}{2}y'(x)-y(x)=x^3$,
hay
$\left(\frac{y(x)}{x^2}\right)'=2$.
Suy ra $\frac{f(2x+1)}{x^2}=2x+C$. Từ $f(3)=3$ (ứng với $x=1$) được $C=1$. Vì vậy
$f(2x+1)=x^2(2x+1)=2x^3+x^2$.
Do phép đổi biến $u=2x+1$,
$\int_3^5f(u)\,du=2\int_1^2f(2x+1)\,dx
=2\int_1^2(2x^3+x^2)\,dx=\frac{59}{3}$.
$\frac{x}{2}y'(x)-y(x)=x^3$,
hay
$\left(\frac{y(x)}{x^2}\right)'=2$.
Suy ra $\frac{f(2x+1)}{x^2}=2x+C$. Từ $f(3)=3$ (ứng với $x=1$) được $C=1$. Vì vậy
$f(2x+1)=x^2(2x+1)=2x^3+x^2$.
Do phép đổi biến $u=2x+1$,
$\int_3^5f(u)\,du=2\int_1^2f(2x+1)\,dx
=2\int_1^2(2x^3+x^2)\,dx=\frac{59}{3}$.