Bài tập nâng cao · Bài 125
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 125
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm và đồng biến trên $ \left[ 1;4 \right] $, thỏa mãn $ x+2xf\left ( { x } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } $ với mọi $ x\in \left[ 1;4 \right] $. Biết $ f\left ( { 1 } \right )=\frac { 3 } { 2 } $, tính $ I=\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ) }dx $
Xem lời giải
Lời giải
Do $f$ đồng biến trên $[1,4]$ nên $f'(x)\ge0$ và $2f(x)+1>0$. Từ
$x[2f(x)+1]=[f'(x)]^2$
suy ra
$\frac{f'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}=\sqrt{x}$,
hay
$\left[\sqrt{2f(x)+1}\right]'=\sqrt{x}$.
Do đó
$\sqrt{2f(x)+1}=\frac23x^{3/2}+C$.
Từ $f(1)=\frac32$ suy ra $C=\frac43$. Vậy
$f(x)=\frac29x^3+\frac89x^{3/2}+\frac7{18}$.
Suy ra
$I=\int_1^4f(x)\,dx=\left[\frac{x^4}{18}+\frac{16x^{5/2}}{45}+\frac{7x}{18}\right]_1^4=\frac{1186}{45}$.
$x[2f(x)+1]=[f'(x)]^2$
suy ra
$\frac{f'(x)}{\sqrt{2f(x)+1}}=\sqrt{x}$,
hay
$\left[\sqrt{2f(x)+1}\right]'=\sqrt{x}$.
Do đó
$\sqrt{2f(x)+1}=\frac23x^{3/2}+C$.
Từ $f(1)=\frac32$ suy ra $C=\frac43$. Vậy
$f(x)=\frac29x^3+\frac89x^{3/2}+\frac7{18}$.
Suy ra
$I=\int_1^4f(x)\,dx=\left[\frac{x^4}{18}+\frac{16x^{5/2}}{45}+\frac{7x}{18}\right]_1^4=\frac{1186}{45}$.