Bài tập nâng cao · Bài 126
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 126
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $ và thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=10 $, $ f\left ( { 1 } \right )=cot1 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x+f'\left ( { x } \right )tanx \right] }{ \rm{ d } }x $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
+ $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x+f'\left ( { x } \right )tanx \right] }{ \rm{ d } }x =\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right )tanx }{ \rm{ d } }x\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $.
+ Tính $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right )tanx }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=tanx \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 1+tan ^ { 2 } x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow J=\left | { f\left ( { x } \right ).tanx } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).\left ( { 1+tan ^ { 2 } x } \right ) }{ \rm{ d } }x =f\left ( { 1 } \right ).tan1-f\left ( { 0 } \right ).tan0-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x =cot1.tan1-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-10 =1-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-10=-9-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x $.
Thay $ J $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được:
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x+\left ( { -9-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x } \right )=-9 $.
+ $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x+f'\left ( { x } \right )tanx \right] }{ \rm{ d } }x =\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right )tanx }{ \rm{ d } }x\,\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $.
+ Tính $ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right )tanx }{ \rm{ d } }x $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=tanx \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right. $, ta có $ \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left ( { 1+tan ^ { 2 } x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=f\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $.
$ \Rightarrow J=\left | { f\left ( { x } \right ).tanx } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).\left ( { 1+tan ^ { 2 } x } \right ) }{ \rm{ d } }x =f\left ( { 1 } \right ).tan1-f\left ( { 0 } \right ).tan0-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x =cot1.tan1-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-10 =1-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x-10=-9-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x $.
Thay $ J $ vào $ \left ( { 1 } \right ) $ ta được:
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x+\left ( { -9-\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ).tan ^ { 2 } x }{ \rm{ d } }x } \right )=-9 $.