Bài tập nâng cao · Bài 127
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 127
Cho hàm số $ y=f(x) $ thỏa mãn $ \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } +f(x).f''(x)=x ^ { 3 } -2x,\,∀x\in R $ và $ f(0)=f'(0)=2 $. Tính giá trị của $ T=f ^ { 2 } (2) $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } +f(x).f''(x)=x ^ { 3 } -2x,\,∀x\in R $
$ \Leftrightarrow \left ( { f'(x).f(x) } \right ) ^ { ' } =x ^ { 3 } -2x,\,∀x\in R $
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$ \int { \left ( { f'(x).f(x) } \right ) ^ { ' } dx }=\int { \left ( { x ^ { 3 } -2x } \right ) }dx \\ \Leftrightarrow f'(x).f(x)=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 2 } +C $
Theo đề ra ta có: $ f'(0).f(0)=C=4 $
Suy ra:
$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f'(x).f(x) }.dx=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 2 } +4 } \right ) }\,dx $
$ \Leftrightarrow \left | { \frac { f ^ { 2 } (x) } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 104 } { 15 } $$ \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,f ^ { 2 } (2)=\frac { 268 } { 15 } $.
$ \Leftrightarrow \left ( { f'(x).f(x) } \right ) ^ { ' } =x ^ { 3 } -2x,\,∀x\in R $
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$ \int { \left ( { f'(x).f(x) } \right ) ^ { ' } dx }=\int { \left ( { x ^ { 3 } -2x } \right ) }dx \\ \Leftrightarrow f'(x).f(x)=\frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 2 } +C $
Theo đề ra ta có: $ f'(0).f(0)=C=4 $
Suy ra:
$ \int _{ 0 }^{ 2 } { f'(x).f(x) }.dx=\int _{ 0 }^{ 2 } { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-x ^ { 2 } +4 } \right ) }\,dx $
$ \Leftrightarrow \left | { \frac { f ^ { 2 } (x) } { 2 } } \right ._{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 104 } { 15 } $$ \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,f ^ { 2 } (2)=\frac { 268 } { 15 } $.