Bài tập nâng cao · Bài 128
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 128
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục, có đạo hàm trên $ R $ thỏa mãn điều kiện $ f(x)+x\left ( { f'(x)-2sinx } \right )=x ^ { 2 } cosx,x\in R $ và $ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=\frac { \pi } { 2 } $.Tính $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { xf''\left ( { x } \right )dx } $
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết,
$f(x)+xf'(x)=x^2\cos x+2x\sin x$,
hay
$[xf(x)]'=[x^2\sin x]'$.
Suy ra $xf(x)=x^2\sin x+C$. Từ $f\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2$ suy ra $C=0$, nên $f(x)=x\sin x$.
Tích phân từng phần cho
$\int_0^{\pi/2}xf''(x)\,dx=[xf'(x)-f(x)]_0^{\pi/2}$.
Với $f(x)=x\sin x$, ta có $xf'(x)-f(x)=x^2\cos x$. Vì vậy tích phân bằng $[x^2\cos x]_0^{\pi/2}=0$.
$f(x)+xf'(x)=x^2\cos x+2x\sin x$,
hay
$[xf(x)]'=[x^2\sin x]'$.
Suy ra $xf(x)=x^2\sin x+C$. Từ $f\left(\frac\pi2\right)=\frac\pi2$ suy ra $C=0$, nên $f(x)=x\sin x$.
Tích phân từng phần cho
$\int_0^{\pi/2}xf''(x)\,dx=[xf'(x)-f(x)]_0^{\pi/2}$.
Với $f(x)=x\sin x$, ta có $xf'(x)-f(x)=x^2\cos x$. Vì vậy tích phân bằng $[x^2\cos x]_0^{\pi/2}=0$.