Bài tập nâng cao · Bài 129
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 129
Cho hàm số $ y=f(x) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }dx=4 } $ và $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosxdx=2. } $ Tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f(x)dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ { \rm{ t } }=\sqrt[] { { \rm{ x } } }\Rightarrow { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { { \rm{ x } } } }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } $. Khi đó $ x=1\Rightarrow t=1;x=9\Rightarrow t=3 $
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } } }dx=2\int _{ 1 }^{ 3 } { f(t)dt=4 }\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f(t)dt=2. } $
Đặt $ t=sinx;x\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right]\Rightarrow dt=cosdx $. Khi đó. $ x=0\Rightarrow t=0;x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=1 $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f(x)dx= }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }+\int _{ 1 }^{ 3 } { f(x)dx }=2+2=4. $
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } } }dx=2\int _{ 1 }^{ 3 } { f(t)dt=4 }\Rightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f(t)dt=2. } $
Đặt $ t=sinx;x\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right]\Rightarrow dt=cosdx $. Khi đó. $ x=0\Rightarrow t=0;x=\frac { \pi } { 2 }\Rightarrow t=1 $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f(x)dx= }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx }+\int _{ 1 }^{ 3 } { f(x)dx }=2+2=4. $