Bài tập nâng cao · Bài 130
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 130
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;3 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 3 } \right )=0 $, $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=\frac { 7 } { 6 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }dx }=-\frac { 7 } { 3 } $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx } $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Xét: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }dx }=-\frac { 7 } { 3 } $
Đặt: $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=\frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 } }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=2\left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ) \end{array} \right. $
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }dx }=\left | { \left[ 2\left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right )f\left ( { x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-2\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ).f'\left ( { x } \right )dx=\frac { 7 } { 6 } } $ (1)
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ) ^ { 2 } dx }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { x+2-2\sqrt[] { x+1 } } \right )dx=\frac { 7 } { 6 } } $ (2)
$ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=\frac { 7 } { 6 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) $
Từ (1) và (2) suy ra: $ \left[ f'\left ( { x } \right )=0 \\ f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { x+1 }-1 \right. $
+) $ f'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow $ (3) vô lý
+)$ f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { x+1 }-1\Rightarrow $$ f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x+C $, mà $ f\left ( { 3 } \right )=0\Rightarrow C=-\frac { 7 } { 3 } $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x-\frac { 7 } { 3 } $
Vậy: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ \frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x-\frac { 7 } { 3 } \right]dx }=-\frac { 97 } { 30 } $.
Đặt: $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=\frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 } }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=2\left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ) \end{array} \right. $
Khi đó: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }dx }=\left | { \left[ 2\left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right )f\left ( { x } \right ) \right] } \right ._{ 0 } ^{ 3 }-2\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right )f'\left ( { x } \right )dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ).f'\left ( { x } \right )dx=\frac { 7 } { 6 } } $ (1)
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-1 } \right ) ^ { 2 } dx }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left ( { x+2-2\sqrt[] { x+1 } } \right )dx=\frac { 7 } { 6 } } $ (2)
$ \int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=\frac { 7 } { 6 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) $
Từ (1) và (2) suy ra: $ \left[ f'\left ( { x } \right )=0 \\ f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { x+1 }-1 \right. $
+) $ f'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow $ (3) vô lý
+)$ f'\left ( { x } \right )=\sqrt[] { x+1 }-1\Rightarrow $$ f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x+C $, mà $ f\left ( { 3 } \right )=0\Rightarrow C=-\frac { 7 } { 3 } $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x-\frac { 7 } { 3 } $
Vậy: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \left[ \frac { 2 } { 3 }\left ( { x+1 } \right )\sqrt[] { x+1 }-x-\frac { 7 } { 3 } \right]dx }=-\frac { 97 } { 30 } $.