Bài tập nâng cao · Bài 131
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 131
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 2 } { 3 } $ và $ \left ( { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+1 } } \right )f'\left ( { x } \right )=1,∀x\geq -1. $ Biết rằng $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { a\sqrt[] { 2 }+b } { 15 } } $ với $ a,b\in $ Tính $ T=a+b. $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \left ( { \sqrt[] { x }+\sqrt[] { x+1 } } \right )f'\left ( { x } \right )=1,∀x\geq -1. $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } \\ \Rightarrow \int { f'\left ( { x } \right ) }dx=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } }dx \\ \Rightarrow \int { f'\left ( { x } \right ) }dx=\int { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-\sqrt[] { x } } \right ) }dx \\ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }+C. $
Mặt khác: $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow \frac { 2 } { 3 }=\frac { 2 } { 3 }-\frac { 2 } { 3 }+C\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }. $
Do đó: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\, }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } } } \right )\, }dx=\left | { \left ( { \frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 5 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 5 } }-\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 5 }\sqrt[] { x ^ { 5 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 16\sqrt[] { 2 }-8 } { 15 }. $
$ \Rightarrow a=16;\,b=-8\Rightarrow T=a+b=8. $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } \\ \Rightarrow \int { f'\left ( { x } \right ) }dx=\int { \frac { 1 } { \sqrt[] { x+1 }+\sqrt[] { x } } }dx \\ \Rightarrow \int { f'\left ( { x } \right ) }dx=\int { \left ( { \sqrt[] { x+1 }-\sqrt[] { x } } \right ) }dx \\ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }+C. $
Mặt khác: $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow \frac { 2 } { 3 }=\frac { 2 } { 3 }-\frac { 2 } { 3 }+C\Leftrightarrow C=0\Rightarrow f(x)=\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } }. $
Do đó: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\, }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 3 } }-\frac { 2 } { 3 }\sqrt[] { x ^ { 3 } } } \right )\, }dx=\left | { \left ( { \frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 5 }\sqrt[] { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 5 } }-\frac { 2 } { 3 }.\frac { 2 } { 5 }\sqrt[] { x ^ { 5 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 16\sqrt[] { 2 }-8 } { 15 }. $
$ \Rightarrow a=16;\,b=-8\Rightarrow T=a+b=8. $