Bài tập nâng cao · Bài 132
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 132
Cho$ f\left ( { x } \right ) $ là hàm số liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 3 } $. Tính
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x.f'\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x.f'\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x } $
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=sin\,x,\,\,{ \rm{ d } }t=cosx\,{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x.f'\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 2t.f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=2t \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=2{ \rm{ d } }t \\ v=f\left ( { t } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\left ( { 2t.f\left ( { t } \right ) } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .-2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2.f\left ( { 1 } \right )-2.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 4 } { 3 } $.
Đổi cận
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { sin2x.f'\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { 2t.f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=2t \\ { \rm{ d } }v=f'\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=2{ \rm{ d } }t \\ v=f\left ( { t } \right ) \end{array} \right. $
$ I=\left ( { 2t.f\left ( { t } \right ) } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .-2\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2.f\left ( { 1 } \right )-2.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 4 } { 3 } $.