Bài tập nâng cao · Bài 133
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 133
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x=4,\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x=2 } } $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x=2\int _{ 1 }^{ 9 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } }=2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $.
Mà $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x=4 } $ nên $ 2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=4\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=2 } $
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=2 }\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=2 } $.
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right )=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } } } $.
Mà $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x=2 } $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2 $.
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=2 } $.
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= } }2+2=4 $.
Mà $ \int _{ 1 }^{ 9 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x=4 } $ nên $ 2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=4\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=2 } $
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $ \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t=2 }\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=2 } $.
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right ){ \rm{ d } }\left ( { sinx } \right )=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } } } $.
Mà $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x=2 } $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2 $.
Vì tích phân không phụ thuộc vào biến số nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=2\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=2 } $.
Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x= } }2+2=4 $.