Bài tập nâng cao · Bài 134
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 134
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ -ln2;ln2 \right] $ và thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )+f\left ( { -x } \right )=\frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } $. Biết $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=aln2+bln3,\,\,\left ( { a,b\in \mathbb{Q} } \right ) $. Tính $ P=a+b $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết suy ra $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+f\left ( { -x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 }{ \rm{ d } }x } $.
Ta có $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+f\left ( { -x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { -x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { -x } \right )=2 }\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Mặt khác $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { \left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \left[ \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } }-\frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right]{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) } =\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) }-\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ) }=\left | { x } \right ._{ -ln2 } ^{ ln2 }-\left | { ln\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ) } \right ._{ -ln2 } ^{ ln2 }=ln2+ln2-ln3+ln\frac { 3 } { 2 }=ln2 $.
Suy ra $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2 $$ \Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 },b=0\Rightarrow a+b=\frac { 1 } { 2 } $.
Ta có $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \left[ f\left ( { x } \right )+f\left ( { -x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { -x } \right ){ \rm{ d } }\left ( { -x } \right )=2 }\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Mặt khác $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { \left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) }=\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \left[ \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } }-\frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right]{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) } =\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ) }-\int _{ -ln2 }^{ ln2 } { \frac { 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } +1 }{ \rm{ d } }\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ) }=\left | { x } \right ._{ -ln2 } ^{ ln2 }-\left | { ln\left ( { { \rm{ e } } ^ { x } +1 } \right ) } \right ._{ -ln2 } ^{ ln2 }=ln2+ln2-ln3+ln\frac { 3 } { 2 }=ln2 $.
Suy ra $ \int _{ -ln2 }^{ ln2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }ln2 $$ \Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 },b=0\Rightarrow a+b=\frac { 1 } { 2 } $.