Bài tập nâng cao · Bài 135
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 135
Cho hàm số $ f(x) $liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn điều kiện $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx=2 } $và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf(x)dx=\frac { 3 } { 2 } } $. Hỏi giá trị nhỏ nhất của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)dx } $ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Ta tìm hàm $ ax+b $ thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f(x)-(ax+b) \right] } ^ { 2 } dx=0\Rightarrow f(x)=ax+b $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx=2 } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf(x)dx=\frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { \left ( { \frac { a } { 2 }x ^ { 2 } +bx } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=2 \\ \left | { \left ( { \frac { a } { 3 }x ^ { 3 } +\frac { b } { 2 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \frac { a } { 2 }+b=2 \\ \frac { a } { 3 }+\frac { b } { 2 }=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow a=6;b=-1. \\ +\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f(x)-(6x-1) \right] } ^ { 2 } dx\geq 0 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)dx }\geq 2\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)(6x-1)dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { (6x-1) ^ { 2 } dx }=12\int _{ 0 }^{ 1 } { xf(x)dx-2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx- }\int _{ 0 }^{ 1 } { (6x-1) ^ { 2 } dx }=7 $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx=2 } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { xf(x)dx=\frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \left | { \left ( { \frac { a } { 2 }x ^ { 2 } +bx } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=2 \\ \left | { \left ( { \frac { a } { 3 }x ^ { 3 } +\frac { b } { 2 }x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \frac { a } { 2 }+b=2 \\ \frac { a } { 3 }+\frac { b } { 2 }=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right.\Rightarrow a=6;b=-1. \\ +\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f(x)-(6x-1) \right] } ^ { 2 } dx\geq 0 \\ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f ^ { 2 } (x)dx }\geq 2\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)(6x-1)dx }-\int _{ 0 }^{ 1 } { (6x-1) ^ { 2 } dx }=12\int _{ 0 }^{ 1 } { xf(x)dx-2 }\int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx- }\int _{ 0 }^{ 1 } { (6x-1) ^ { 2 } dx }=7 $