Bài tập nâng cao · Bài 136
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 136
Cho $ f\left ( { x } \right ) $liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ f\left ( { x } \right )=f\left ( { 2020-x } \right ) $ và $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { f\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }=4. $Khi đó $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ u=2020-x\Rightarrow x=2020-u $. Ta có $ d{ \rm{ x } }=-du $.
Với $ x=3 $ thì $ u=2017 $.
Với $ x=2017 $ thì $ u=3 $.
Khiđó$ \int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } } $= $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { \left ( { 2020-u } \right )f\left ( { 2020-u } \right ) }du=\int _{ 3 }^{ 2017 } { \left ( { 2020-x } \right )f\left ( { x } \right ) }dx $
Suy ra $ 2\int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }\int _{ 3 }^{ 2017 } { 2020f\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ . } } $ Do đó $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ . } } $
Với $ x=3 $ thì $ u=2017 $.
Với $ x=2017 $ thì $ u=3 $.
Khiđó$ \int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } } $= $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { \left ( { 2020-u } \right )f\left ( { 2020-u } \right ) }du=\int _{ 3 }^{ 2017 } { \left ( { 2020-x } \right )f\left ( { x } \right ) }dx $
Suy ra $ 2\int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }\int _{ 3 }^{ 2017 } { 2020f\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 8 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ . } } $ Do đó $ \int _{ 3 }^{ 2017 } { xf\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 4 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ . } } $