Bài tập nâng cao · Bài 137
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 137
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )>0 $ và có đạo hàm liên tục trên $ \mathbb{R} $, thỏa mãn $ \left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } { x+2 } $ và $ f\left ( { 0 } \right )=\left ( { \frac { ln2 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } $. Giá trị $ f\left ( { 3 } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \left ( { x+1 } \right )f'\left ( { x } \right )=\frac { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } { x+2 }\Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } }=\frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } $.
Khi đó
$ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } }{ \rm{ d } }x\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { d\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } }{ \rm{ d } }x $
$ \Leftrightarrow \left | { 2\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }=\left | { ln\frac { x+1 } { x+2 } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }\Leftrightarrow 2\sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }-2\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) }=ln\frac { 4 } { 5 }-ln\frac { 1 } { 2 } $
$ \Leftrightarrow 2\sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=ln\frac { 8 } { 5 }+2\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { ln8-ln5 } \right )+\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 3ln2-ln5 } \right )+\frac { ln2 } { 2 } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4ln2-ln5 } \right ) $.
Vậy $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 1 } { 4 }\left ( { 4ln2-ln5 } \right ) ^ { 2 } $.
Khi đó
$ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } }{ \rm{ d } }x\Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { d\left ( { f\left ( { x } \right ) } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1 } { \left ( { x+1 } \right )\left ( { x+2 } \right ) } }{ \rm{ d } }x $
$ \Leftrightarrow \left | { 2\sqrt[] { f\left ( { x } \right ) } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }=\left | { ln\frac { x+1 } { x+2 } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }\Leftrightarrow 2\sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }-2\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) }=ln\frac { 4 } { 5 }-ln\frac { 1 } { 2 } $
$ \Leftrightarrow 2\sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=ln\frac { 8 } { 5 }+2\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { ln8-ln5 } \right )+\sqrt[] { f\left ( { 0 } \right ) } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 3ln2-ln5 } \right )+\frac { ln2 } { 2 } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { f\left ( { 3 } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 4ln2-ln5 } \right ) $.
Vậy $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 1 } { 4 }\left ( { 4ln2-ln5 } \right ) ^ { 2 } $.