Bài tập nâng cao · Bài 138
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 138
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có $ f\left ( { 1 } \right )=e ^ { 2 } $ và $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2x-1 } { x ^ { 2 } }e ^ { 2x } $ với mọi $ x $ khác $ 0 $. Khi đó $ \int _{ 1 }^{ ln3 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phân $ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { \frac { 2x-1 } { x ^ { 2 } }e ^ { 2x } { \rm{ d } }x } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=4xe ^ { 2x } { \rm{ d } }x \\ v=-\frac { 1 } { x } \end{array} \right. $, khi đó
$ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { \frac { 2x-1 } { x ^ { 2 } }e ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +4\int { e ^ { 2x } { \rm{ d } }x } =-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +2e ^ { 2x } +C $.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=e ^ { 2 } \Rightarrow C=0 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +2e ^ { 2x } $.
Khi đó, ta có $ \int _{ 1 }^{ ln3 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ ln3 } { \left[ \left ( { 1-2x } \right )e ^ { 2x } +2xe ^ { 2x } \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ ln3 } { e ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { e ^ { 2x } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ ln3 }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 9-e ^ { 2 } } \right ) $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } \\ { \rm{ d } }v=\frac { 1 } { x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=4xe ^ { 2x } { \rm{ d } }x \\ v=-\frac { 1 } { x } \end{array} \right. $, khi đó
$ \int { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int { \frac { 2x-1 } { x ^ { 2 } }e ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +4\int { e ^ { 2x } { \rm{ d } }x } =-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +2e ^ { 2x } +C $.
Do $ f\left ( { 1 } \right )=e ^ { 2 } \Rightarrow C=0 $. Vậy $ f\left ( { x } \right )=-\frac { 1 } { x }\left ( { 2x-1 } \right )e ^ { 2x } +2e ^ { 2x } $.
Khi đó, ta có $ \int _{ 1 }^{ ln3 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ ln3 } { \left[ \left ( { 1-2x } \right )e ^ { 2x } +2xe ^ { 2x } \right]{ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ ln3 } { e ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=\left | { \frac { e ^ { 2x } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ ln3 }=\frac { 1 } { 2 }\left ( { 9-e ^ { 2 } } \right ) $.