Bài tập nâng cao · Bài 139
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 139
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên khoảng $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $ và thỏa mãn $ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4x\sqrt[] { x } }=\frac { 2x+1 } { 2x }ln\left ( { x+1 } \right ) $. Biết $ \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x=aln5-2lnb+c } $ với $ a,b,c\in \mathbb{R} $. Giá trị của $ a+b+2c $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4x\sqrt[] { x } }=\frac { 2x+1 } { 2x }ln\left ( { x+1 } \right )\Leftrightarrow xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4\sqrt[] { x } }=\frac { 2x+1 } { 2 }ln\left ( { x+1 } \right ) $.
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 4 } { \left[ xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4\sqrt[] { x } } \right] }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 2x+1 } { 2 }ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Ta có $ \int _{ 1 }^{ 4 } { \left[ xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4\sqrt[] { x } } \right] }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }\frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } { 2 }+\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right )\frac { { \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 2 } } =\int _{ 2 }^{ 17 } { \frac { 1 } { 2 }f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { 2 }f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
$ \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 2x+1 } { 2 }ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +x } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left[ \left | { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )ln\left ( { x+1 } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }-\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )\frac { 1 } { x+1 }{ \rm{ d } }x } \right] =\frac { 1 } { 2 }\left[ 20ln5-2ln2-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 4 } \right]=\frac { 1 } { 2 }\left[ 20ln5-2ln2-\frac { 15 } { 2 } \right] $.
Do đó $ \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=20ln5-2ln2-\frac { 15 } { 2 }\Rightarrow a=20,b=2,c=-\frac { 15 } { 2 } $.
Vậy $ a+b+2c=7 $.
Suy ra $ \int _{ 1 }^{ 4 } { \left[ xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4\sqrt[] { x } } \right] }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 2x+1 } { 2 }ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Ta có $ \int _{ 1 }^{ 4 } { \left[ xf\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right )+\frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 4\sqrt[] { x } } \right] }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) }\frac { { \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +1 } \right ) } { 2 }+\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right )\frac { { \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { 2 } } =\int _{ 2 }^{ 17 } { \frac { 1 } { 2 }f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { 1 } { 2 }f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $.
$ \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 2x+1 } { 2 }ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 1 }^{ 4 } { ln\left ( { x+1 } \right ){ \rm{ d } }\left ( { x ^ { 2 } +x } \right ) }=\frac { 1 } { 2 }\left[ \left | { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )ln\left ( { x+1 } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 4 }-\int _{ 1 }^{ 4 } { \left ( { x ^ { 2 } +x } \right )\frac { 1 } { x+1 }{ \rm{ d } }x } \right] =\frac { 1 } { 2 }\left[ 20ln5-2ln2-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 1 } ^{ 4 } \right]=\frac { 1 } { 2 }\left[ 20ln5-2ln2-\frac { 15 } { 2 } \right] $.
Do đó $ \int _{ 1 }^{ 17 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=20ln5-2ln2-\frac { 15 } { 2 }\Rightarrow a=20,b=2,c=-\frac { 15 } { 2 } $.
Vậy $ a+b+2c=7 $.