Bài tập nâng cao · Bài 140
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 140
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm và xác định trên $ \mathbb{R} $. Biết $ f\left ( { 1 } \right )=2 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 1+3\sqrt[] { x } } { 2\sqrt[] { x } }f\left ( { 2-\sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=4 $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ 4=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { x ^ { 2 } f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { 2xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2-2\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-1 $
Đặt $ t=2-\sqrt[] { x }\Rightarrow { \rm{ d } }t=-\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x $
Khi đó
$ \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 1+3\sqrt[] { x } } { 2\sqrt[] { x } }f\left ( { 2-\sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=4\Leftrightarrow -\int _{ 1 }^{ 0 } { \left ( { 1+3\left ( { 2-t } \right ) } \right )f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=4 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { 7f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }-3\int _{ 0 }^{ 1 } { tf\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=4 $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=\frac { 4+3\int _{ 0 }^{ 1 } { tf\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } } } { 7 }=\frac { 4+3.\left ( { -1 } \right ) } { 7 }=\frac { 1 } { 7 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 7 } $.
$ 4=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { x ^ { 2 } f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { 2xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=2-2\int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { xf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-1 $
Đặt $ t=2-\sqrt[] { x }\Rightarrow { \rm{ d } }t=-\frac { 1 } { 2\sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x $
Khi đó
$ \int _{ 1 }^{ 4 } { \frac { 1+3\sqrt[] { x } } { 2\sqrt[] { x } }f\left ( { 2-\sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=4\Leftrightarrow -\int _{ 1 }^{ 0 } { \left ( { 1+3\left ( { 2-t } \right ) } \right )f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=4 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { 7f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }-3\int _{ 0 }^{ 1 } { tf\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=4 $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } }=\frac { 4+3\int _{ 0 }^{ 1 } { tf\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }{ \rm{ t } } } } { 7 }=\frac { 4+3.\left ( { -1 } \right ) } { 7 }=\frac { 1 } { 7 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 7 } $.