Bài tập nâng cao · Bài 84
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 84
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ dương và liên tục trên $ \left[ 1\,;3 \right] $ thỏa mãn $ \mathop { max } \limits_{ \left[ 1\,;3 \right] } f\left ( { x } \right )=2 $, $ \mathop { min } \limits_{ \left[ 1\,;3 \right] } f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 3 } $ và biểu thức $ S=\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }.\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x } $ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó $ \int _{ 0 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }{ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \frac { 1 } { 3 }\leq f\left ( { x } \right )\leq 2\Rightarrow \left ( { 3f\left ( { x } \right )-1 } \right )\left ( { f\left ( { x } \right )-2 } \right )\leq 0 $
$ \Rightarrow 3f\left ( { x } \right )+\frac { 2 } { f\left ( { x } \right ) }\leq 7\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\leq \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }\leq \frac { 7-3f\left ( { x } \right ) } { 2 } $.
Suy ra
$ S\leq \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }.\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 7-3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }\leq \frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3 } { 2 }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }.\left ( { 7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x } } \right ) $
$ \leq \frac { 2 } { 3 }\left ( { \frac { \int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3 } { 2 }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 49 } { 6 } $.
Ta tìm được $ maxS=\frac { 49 } { 6 } $, xảy ra khi $ \int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }=7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 7 } { 3 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }{ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 8 } { f\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ) }=2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 14 } { 3 } $.
$ \Rightarrow 3f\left ( { x } \right )+\frac { 2 } { f\left ( { x } \right ) }\leq 7\Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\leq \frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) }\leq \frac { 7-3f\left ( { x } \right ) } { 2 } $.
Suy ra
$ S\leq \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }.\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 7-3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }\leq \frac { 2 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3 } { 2 }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }.\left ( { 7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x } } \right ) $
$ \leq \frac { 2 } { 3 }\left ( { \frac { \int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3 } { 2 }f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 49 } { 6 } $.
Ta tìm được $ maxS=\frac { 49 } { 6 } $, xảy ra khi $ \int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }=7-\int _{ 1 }^{ 3 } { \frac { 3f\left ( { x } \right ) } { 2 }{ \rm{ d } }x }\Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 7 } { 3 } $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ) } { \sqrt[] { x+1 } }{ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 8 } { f\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ){ \rm{ d } }\left ( { \sqrt[] { x+1 } } \right ) }=2\int _{ 1 }^{ 3 } { f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 14 } { 3 } $.