Bài tập nâng cao · Bài 83
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 83
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { tanxf\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx }=\int _{ 1 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[3] { x } } \right ) } { x }dx }=6 $. Tính tích phân $ \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=cosx\Rightarrow dt=-sinxdx\Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { tanxf\left ( { cos ^ { 2 } x } \right )dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t }dt=6 } $.
Đặt $ t ^ { 2 } =\sqrt[3] { x }\Rightarrow x=t ^ { 6 } ,dx=6t ^ { 5 } dt $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[3] { x } } \right ) } { x }dx }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t ^ { 6 } }.6t ^ { 5 } dt }=6\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t }dt=6\Rightarrow }\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t }dt=1 } $.
Suy ra $ \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }+\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }=6+1=7 $.
Đặt $ t ^ { 2 } =\sqrt[3] { x }\Rightarrow x=t ^ { 6 } ,dx=6t ^ { 5 } dt $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 8 } { \frac { f\left ( { \sqrt[3] { x } } \right ) } { x }dx }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t ^ { 6 } }.6t ^ { 5 } dt }=6\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t }dt=6\Rightarrow }\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { t ^ { 2 } } \right ) } { t }dt=1 } $.
Suy ra $ \int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }=\int _{ \frac { 1 } { 2 } }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }+\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { 2 } } { \frac { f\left ( { x ^ { 2 } } \right ) } { x }dx }=6+1=7 $.