Bài tập nâng cao · Bài 81
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 81
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ sao cho $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ và $ f\left ( { x } \right ).f\left ( { 1-x } \right )=e ^ { x ^ { 2 } -x } $, $ ∀x\in \left[ 0;1 \right]. $ Tính $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { \left ( { 2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } } \right )f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } } } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } \\ dv=\frac { f'\left ( { x } \right ) } { f\left ( { x } \right ) }d{ \rm{ x } } \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=\left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )d{ \rm{ x } } \\ v=lnf\left ( { x } \right ) \end{array} \right. $ (do $ f\left ( { x } \right ) $ nhận giá trị dương trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $)
Ta có $ I=\left | { \left ( { 2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } } \right )lnf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } } =ln1-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } } $.
Đặt $ t=1-x\Rightarrow dt=-d{ \rm{ x } }. $
Ta có $ I=\int _{ 1 }^{ 0 } { \left[ 6\left ( { 1-t ^ { 2 } } \right )-6\left ( { 1-t } \right ) \right]lnf\left ( { 1-t } \right )dt=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 1-t } \right )dt } } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } }. } $
Suy ra,$ 2I=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } } } $
$ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }\left[ lnf\left ( { x } \right )+lnf\left ( { 1-x } \right ) \right]d{ \rm{ x } } \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lnf\left ( { x } \right ).f\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lne ^ { x ^ { 2 } -x } d{ \rm{ x } } \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-6\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } d{ \rm{ x } } }=-6\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 4 } -2{ \rm{ x } } ^ { 3 } +x ^ { 2 } } \right )d{ \rm{ x } } }=-\frac { 1 } { 5 }. $
Như vậy, $ 2I=-\frac { 1 } { 5 }\Rightarrow I=-\frac { 1 } { 10 } $
Ta có $ I=\left | { \left ( { 2{ \rm{ x } } ^ { 3 } -3{ \rm{ x } } ^ { 2 } } \right )lnf\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } } =ln1-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } } } $.
Đặt $ t=1-x\Rightarrow dt=-d{ \rm{ x } }. $
Ta có $ I=\int _{ 1 }^{ 0 } { \left[ 6\left ( { 1-t ^ { 2 } } \right )-6\left ( { 1-t } \right ) \right]lnf\left ( { 1-t } \right )dt=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6t ^ { 2 } -6t } \right )lnf\left ( { 1-t } \right )dt } } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } }. } $
Suy ra,$ 2I=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lnf\left ( { x } \right )d{ \rm{ x } }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right )lnf\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } } } $
$ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }\left[ lnf\left ( { x } \right )+lnf\left ( { 1-x } \right ) \right]d{ \rm{ x } } \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lnf\left ( { x } \right ).f\left ( { 1-x } \right )d{ \rm{ x } }=-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 6{ \rm{ x } } ^ { 2 } -6{ \rm{ x } } } \right ) }lne ^ { x ^ { 2 } -x } d{ \rm{ x } } \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=-6\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } d{ \rm{ x } } }=-6\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 4 } -2{ \rm{ x } } ^ { 3 } +x ^ { 2 } } \right )d{ \rm{ x } } }=-\frac { 1 } { 5 }. $
Như vậy, $ 2I=-\frac { 1 } { 5 }\Rightarrow I=-\frac { 1 } { 10 } $