Bài tập nâng cao · Bài 80
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 80
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;\pi \right] $. Biết $ f\left ( { 0 } \right )=2{ \rm{ e } } $ và $ f\left ( { x } \right ) $ thỏa mãn hệ thức $ f'\left ( { x } \right )+sinx.f\left ( { x } \right )=cosx.{ \rm{ e } } ^ { cosx } ,∀x\in \left[ 0;\pi \right] $. Tính $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Xem lời giải
Lời giải
Giả thiết $ f'\left ( { x } \right )+sinx.f\left ( { x } \right )=cosx.{ \rm{ e } } ^ { cosx } $ $ \Leftrightarrow { \rm{ e } } ^ { -cosx } .f'\left ( { x } \right )+{ \rm{ e } } ^ { -cosx } .sinx.f\left ( { x } \right )=cosx $
$\Leftrightarrow \left[e^{-\cos x}f(x)\right]'=\cos x$ $ \Rightarrow { \rm{ e } } ^ { -cosx } .f\left ( { x } \right )=sinx+C_{ 1 } $ (1).
Do $ f\left ( { 0 } \right )=2{ \rm{ e } } $, thế vào (1) ta được $ C_{ 1 } =2 $ suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left ( { 2+sinx } \right ){ \rm{ e } } ^ { cosx } $.
Dùng máy tính thì $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \pi } { \left ( { 2+sinx } \right ).{ \rm{ e } } ^ { cosx } { \rm{ d } }x }\approx 10,30532891 $.
$\Leftrightarrow \left[e^{-\cos x}f(x)\right]'=\cos x$ $ \Rightarrow { \rm{ e } } ^ { -cosx } .f\left ( { x } \right )=sinx+C_{ 1 } $ (1).
Do $ f\left ( { 0 } \right )=2{ \rm{ e } } $, thế vào (1) ta được $ C_{ 1 } =2 $ suy ra $ f\left ( { x } \right )=\left ( { 2+sinx } \right ){ \rm{ e } } ^ { cosx } $.
Dùng máy tính thì $ I=\int _{ 0 }^{ \pi } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \pi } { \left ( { 2+sinx } \right ).{ \rm{ e } } ^ { cosx } { \rm{ d } }x }\approx 10,30532891 $.