Bài tập nâng cao · Bài 79
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 79
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f'(x)+2f'(-x)=\frac{2|x|}{x^6+x^2+1}$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giả sử $f(2)=m$, $f(-3)=n$. Tính $T=f(-2)-f(3)$.
Xem lời giải
Lời giải
Với mọi số thực $ x $, thay $ x $ bởi $ -x $ vào biểu thức $ f'\left ( { x } \right )+2f'\left ( { -x } \right )=\frac { 2\left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 } $ (1), ta được
$ f'\left ( { -x } \right )+2f'\left ( { x } \right )=\frac { 2\left | { -x } \right | } { \left ( { -x } \right ) ^ { 6 } +\left ( { -x } \right ) ^ { 2 } +1 } $ hay $ 2f'\left ( { x } \right )+f'\left ( { -x } \right )=\frac { 2\left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 } $ (2).
Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó trừ theo vế cho (1), rút gọn suy ra $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 } $ với mọi số thực $ x $.
Xét $ I=\int _{ -3 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ -3 }^{ 2 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ u=-x $, khi đó ta được $ { \rm{ d } }u=-{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận: Khi $ x=-3\Rightarrow u=3 $ và $ x=2\Rightarrow u=-2 $.
Ta được
$ I=\int _{ 3 }^{ -2 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { -u } \right | } { \left ( { -u } \right ) ^ { 6 } +\left ( { -u } \right ) ^ { 2 } +1 }\left ( { -{ \rm{ d } }u } \right ) }=\int _{ -2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { u } \right | } { u ^ { 6 } +u ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }u }=\int _{ -2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ 3 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Mà $ I=\int _{ -3 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { -3 } \right ) $ (3) và $ I=\int _{ -2 }^{ 3 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=f\left ( { 3 } \right )-f\left ( { -2 } \right ) $ (4).
Từ (3) và (4), ta được $ f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { -3 } \right )=f\left ( { 3 } \right )-f\left ( { -2 } \right ) $ suy ra
$ f\left ( { -2 } \right )-f\left ( { 3 } \right )=f\left ( { -3 } \right )-f\left ( { 2 } \right )=n-m $.
$ f'\left ( { -x } \right )+2f'\left ( { x } \right )=\frac { 2\left | { -x } \right | } { \left ( { -x } \right ) ^ { 6 } +\left ( { -x } \right ) ^ { 2 } +1 } $ hay $ 2f'\left ( { x } \right )+f'\left ( { -x } \right )=\frac { 2\left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 } $ (2).
Nhân hai vế của (2) với 2 sau đó trừ theo vế cho (1), rút gọn suy ra $ f'\left ( { x } \right )=\frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 } $ với mọi số thực $ x $.
Xét $ I=\int _{ -3 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ -3 }^{ 2 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ u=-x $, khi đó ta được $ { \rm{ d } }u=-{ \rm{ d } }x $.
Đổi cận: Khi $ x=-3\Rightarrow u=3 $ và $ x=2\Rightarrow u=-2 $.
Ta được
$ I=\int _{ 3 }^{ -2 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { -u } \right | } { \left ( { -u } \right ) ^ { 6 } +\left ( { -u } \right ) ^ { 2 } +1 }\left ( { -{ \rm{ d } }u } \right ) }=\int _{ -2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { u } \right | } { u ^ { 6 } +u ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }u }=\int _{ -2 }^{ 3 } { \frac { 2 } { 3 }.\frac { \left | { x } \right | } { x ^ { 6 } +x ^ { 2 } +1 }{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ 3 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Mà $ I=\int _{ -3 }^{ 2 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { -3 } \right ) $ (3) và $ I=\int _{ -2 }^{ 3 } { f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=f\left ( { 3 } \right )-f\left ( { -2 } \right ) $ (4).
Từ (3) và (4), ta được $ f\left ( { 2 } \right )-f\left ( { -3 } \right )=f\left ( { 3 } \right )-f\left ( { -2 } \right ) $ suy ra
$ f\left ( { -2 } \right )-f\left ( { 3 } \right )=f\left ( { -3 } \right )-f\left ( { 2 } \right )=n-m $.