Bài tập nâng cao · Bài 78
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 78
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 2;\,4 \right] $ và $ f'\left ( { x } \right )>0,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $. Biết rằng
$ f\left ( { 2 } \right )=\frac { 7 } { 4 } $ và $ 4x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } -x ^ { 3 } ,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $. Giá trị của $ f\left ( { 4 } \right ) $ bằng:
$ f\left ( { 2 } \right )=\frac { 7 } { 4 } $ và $ 4x ^ { 3 } f\left ( { x } \right )=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } -x ^ { 3 } ,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $. Giá trị của $ f\left ( { 4 } \right ) $ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ f'\left ( { x } \right )>0,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $ nên hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đồng biến trên $ \left[ 2;\,4 \right] $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right )\geq f\left ( { 2 } \right )=\frac { 7 } { 4 }>0,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $ (1).
Mặt khác, từ giả thiết ta có $ x ^ { 3 } \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right]=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } ,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $
Kết hợp với (1) ta suy ra: $ 4x=\frac { 4f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 4f\left ( { x } \right )+1 } },\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $.
Lấy tích phân 2 vế cận từ 2 đến 4 ta được:
$ 24=\int _{ 2 }^{ 4 } { 4x{ \rm{ d } }x }=\int _{ 2 }^{ 4 } { \frac { 4f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 4f\left ( { x } \right )+1 } }{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 3 } { 2 }\sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } } } \right ._{ 2 } ^{ 4 } $
$ \left | { \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } } } \right ._{ 2 } ^{ 4 }=16 \\ \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } }-\sqrt[3] { \left[ 4.\frac { 7 } { 4 }+1 \right] ^ { 2 } }=16 \\ \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } }=20 \\ \Rightarrow \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } =8000 \\ \Rightarrow f\left ( { 4 } \right )=\frac { 40\sqrt[] { 5 }-1 } { 4 }. $
Suy ra $ f\left ( { x } \right )\geq f\left ( { 2 } \right )=\frac { 7 } { 4 }>0,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $ (1).
Mặt khác, từ giả thiết ta có $ x ^ { 3 } \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right]=\left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } ,\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $
Kết hợp với (1) ta suy ra: $ 4x=\frac { 4f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 4f\left ( { x } \right )+1 } },\,\,∀x\in \left[ 2;\,4 \right] $.
Lấy tích phân 2 vế cận từ 2 đến 4 ta được:
$ 24=\int _{ 2 }^{ 4 } { 4x{ \rm{ d } }x }=\int _{ 2 }^{ 4 } { \frac { 4f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[3] { 4f\left ( { x } \right )+1 } }{ \rm{ d } }x }=\left | { \frac { 3 } { 2 }\sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } } } \right ._{ 2 } ^{ 4 } $
$ \left | { \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { x } \right )+1 \right] ^ { 2 } } } \right ._{ 2 } ^{ 4 }=16 \\ \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } }-\sqrt[3] { \left[ 4.\frac { 7 } { 4 }+1 \right] ^ { 2 } }=16 \\ \Leftrightarrow \sqrt[3] { \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } }=20 \\ \Rightarrow \left[ 4f\left ( { 4 } \right )+1 \right] ^ { 2 } =8000 \\ \Rightarrow f\left ( { 4 } \right )=\frac { 40\sqrt[] { 5 }-1 } { 4 }. $