Bài tập nâng cao · Bài 77
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 77
Cho hàm số $ f(x) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=1 $; $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 30 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x-1 } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 30 } $. Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=\left ( { 2x-1 } \right ){ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=x ^ { 2 } -x \end{array} \right. $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x-1 } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 30 } $
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 4 } -2x ^ { 3 } +x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }-\frac { x ^ { 4 } } { 2 }+\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { 1 } { 30 } $.
Do đó, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -x $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ C=1 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+1 } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 12 }-\frac { x ^ { 3 } } { 6 }+x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { 11 } { 12 } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 2x-1 } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\left | { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 30 } $
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 4 } -2x ^ { 3 } +x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 5 } } { 5 }-\frac { x ^ { 4 } } { 2 }+\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { 1 } { 30 } $.
Do đó, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )-\left ( { x ^ { 2 } -x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -x $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+C $.
Vì $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ nên $ C=1 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+1 $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+1 } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 12 }-\frac { x ^ { 3 } } { 6 }+x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =\frac { 11 } { 12 } $.