Bài tập nâng cao · Bài 76
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 76
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=0 $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } dx=\frac { 4 } { 3 } }-ln3 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4f\left ( { x } \right ) } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } } }dx=2ln3-\frac { 8 } { 3 } $. Tính tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { 4 } }dx $ bằng.
Xem lời giải
Lời giải
Ta tính. $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 4f\left ( { x } \right ) } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } } }dx=2ln3-\frac { 8 } { 3 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } } }dx=\frac { 1 } { 2 }ln3-\frac { 2 } { 3 } $
Đặt:$ \left \{ \begin{array}{l} u=f(x) \\ dv=\frac { 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'(x)dx \\ v=-\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2x+1 }+\frac { 1 } { 2 }=\frac { x } { 2x+1 } \end{array} \right. $
$ \frac { 1 } { 2 }ln3-\frac { 2 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } } }dx=\left | { -\frac { xf(x) } { 2x+1 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { xf'(x) } { 2x+1 }dx= }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'(x)dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 2 }ln3+\frac { 2 } { 3 } $ $ \Leftrightarrow 4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }=-2ln3+\frac { 8 } { 3 } $
Tính tích phân: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 2x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-\frac { 1 } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-\frac { 2 } { 2x+1 }+\frac { 1 } { (2x+1) ^ { 2 } } } \right ) }dx =\left | { \frac { 1 } { 4 }\left ( { x-ln\left | { 2x+1 } \right |-\frac { 1 } { 2\left ( { 2x+1 } \right ) } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 4 }ln3 $
$ \Rightarrow 4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 4 } { 3 }-ln3 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } }dx-4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'(x)-\frac { 2x } { 2x+1 } } \right ) } ^ { 2 } dx=0\Rightarrow f'(x)=\frac { 2x } { 2x+1 }=1-\frac { 1 } { 2x+1 } $
$ \Rightarrow f(x)=x-\frac { 1 } { 2 }ln\left ( { 2x+1 } \right )+C $ vì $ x\in \left ( { 0;1 } \right ) $
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { 1 } { 2 }ln3-1 $
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { 4 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-\frac { 1 } { 2 }ln\left ( { 2x+1 } \right )+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right )dx } =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right ) }dx-\frac { 1 } { 8 }\int _{ 0 }^{ 1 } { ln\left ( { 2x+1 } \right ) }dx $
$ A=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right ) }dx=\frac { 1 } { 4 }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }+\frac { x } { 2 }ln3-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =-\frac { 1 } { 8 }+\frac { 1 } { 8 }ln3 $
$ B=\int _{ 0 }^{ 1 } { ln\left ( { 2x+1 } \right ) }dx $ đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { 2x+1 } \right ) \\ dv=dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=\frac { 2 } { 2x+1 }dx \\ x=x \end{array} \right. $
$ \Rightarrow B=\left | { xln(2x+1) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2x } { 2x+1 }dx } =ln3-\left | { \left ( { x-\frac { 1 } { 2 }ln(2x+1) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 }ln3-1 $
$ \Rightarrow I=A-\frac { 1 } { 8 }B=-\frac { 1 } { 16 }ln3 $
Đặt:$ \left \{ \begin{array}{l} u=f(x) \\ dv=\frac { 1 } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'(x)dx \\ v=-\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2x+1 }+\frac { 1 } { 2 }=\frac { x } { 2x+1 } \end{array} \right. $
$ \frac { 1 } { 2 }ln3-\frac { 2 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { 2x+1 } \right ) ^ { 2 } } }dx=\left | { -\frac { xf(x) } { 2x+1 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { xf'(x) } { 2x+1 }dx= }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'(x)dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }=-\frac { 1 } { 2 }ln3+\frac { 2 } { 3 } $ $ \Leftrightarrow 4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }=-2ln3+\frac { 8 } { 3 } $
Tính tích phân: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 2x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-\frac { 1 } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-\frac { 2 } { 2x+1 }+\frac { 1 } { (2x+1) ^ { 2 } } } \right ) }dx =\left | { \frac { 1 } { 4 }\left ( { x-ln\left | { 2x+1 } \right |-\frac { 1 } { 2\left ( { 2x+1 } \right ) } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 3 }-\frac { 1 } { 4 }ln3 $
$ \Rightarrow 4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=\frac { 4 } { 3 }-ln3 $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } }dx-4\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x } { 2x+1 }f'\left ( { x } \right )dx }+4\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { x } { 2x+1 } } \right ) ^ { 2 } }dx=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'(x)-\frac { 2x } { 2x+1 } } \right ) } ^ { 2 } dx=0\Rightarrow f'(x)=\frac { 2x } { 2x+1 }=1-\frac { 1 } { 2x+1 } $
$ \Rightarrow f(x)=x-\frac { 1 } { 2 }ln\left ( { 2x+1 } \right )+C $ vì $ x\in \left ( { 0;1 } \right ) $
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { 1 } { 2 }ln3-1 $
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { 4 } }dx=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x-\frac { 1 } { 2 }ln\left ( { 2x+1 } \right )+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right )dx } =\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right ) }dx-\frac { 1 } { 8 }\int _{ 0 }^{ 1 } { ln\left ( { 2x+1 } \right ) }dx $
$ A=\frac { 1 } { 4 }\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+\frac { 1 } { 2 }ln3-1 } \right ) }dx=\frac { 1 } { 4 }\left | { \left ( { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }+\frac { x } { 2 }ln3-x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 } =-\frac { 1 } { 8 }+\frac { 1 } { 8 }ln3 $
$ B=\int _{ 0 }^{ 1 } { ln\left ( { 2x+1 } \right ) }dx $ đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=ln\left ( { 2x+1 } \right ) \\ dv=dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=\frac { 2 } { 2x+1 }dx \\ x=x \end{array} \right. $
$ \Rightarrow B=\left | { xln(2x+1) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { 2x } { 2x+1 }dx } =ln3-\left | { \left ( { x-\frac { 1 } { 2 }ln(2x+1) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 3 } { 2 }ln3-1 $
$ \Rightarrow I=A-\frac { 1 } { 8 }B=-\frac { 1 } { 16 }ln3 $