Bài tập nâng cao · Bài 75
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 75
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 1;2 \right] $ và thỏa mãn $ f\left ( { 2 } \right )=0, $ $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }=\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 2 } { 3 } $ và $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } }. $ Tính tích phân $ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }. $
Xem lời giải
Lời giải
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx=-\frac { 5 } { 12 }+ln\frac { 3 } { 2 } }. $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right )\Rightarrow du=f'\left ( { x } \right )dx \\ dv=\frac { dx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }\Rightarrow v=-\frac { 1 } { x+1 } \end{array} \right. $
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx }=-\left | { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=\frac { f\left ( { 1 } \right ) } { 2 }-\frac { f\left ( { 2 } \right ) } { 3 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=\frac { f\left ( { 1 } \right ) } { 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +\frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }-\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } \right]dx }=0 \\ \Leftrightarrow \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +\frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }-\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 }=0 \\ \Leftrightarrow \left[ f'\left ( { x } \right )=0 \\ f'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 }=0 \right.\Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )=C \\ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+C \right. $
TH1: $ f\left ( { x } \right )=C,f\left ( { 2 } \right )=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=0 $ (loại)
TH2: $ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+C,f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow C=ln3-1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+ln3-1 $
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 3 } { 4 }-2ln\frac { 3 } { 2 } }. $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right )\Rightarrow du=f'\left ( { x } \right )dx \\ dv=\frac { dx } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }\Rightarrow v=-\frac { 1 } { x+1 } \end{array} \right. $
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f\left ( { x } \right ) } { \left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } }dx }=-\left | { \frac { f\left ( { x } \right ) } { x+1 } } \right ._{ 1 } ^{ 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=\frac { f\left ( { 1 } \right ) } { 2 }-\frac { f\left ( { 2 } \right ) } { 3 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=\frac { f\left ( { 1 } \right ) } { 2 }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx } $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } dx }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }dx }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +\frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }-\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 } \right]dx }=0 \\ \Leftrightarrow \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } +\frac { f'\left ( { x } \right ) } { x+1 }-\frac { f'\left ( { x } \right ) } { 2 }=0 \\ \Leftrightarrow \left[ f'\left ( { x } \right )=0 \\ f'\left ( { x } \right )+\frac { 1 } { x+1 }-\frac { 1 } { 2 }=0 \right.\Leftrightarrow \left[ f\left ( { x } \right )=C \\ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+C \right. $
TH1: $ f\left ( { x } \right )=C,f\left ( { 2 } \right )=0\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=0 $ (loại)
TH2: $ f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+C,f\left ( { 2 } \right )=0\Leftrightarrow C=ln3-1\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2 }-ln\left | { x+1 } \right |+ln3-1 $
$ \int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx=\frac { 3 } { 4 }-2ln\frac { 3 } { 2 } }. $