Bài tập nâng cao · Bài 74
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 74
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\frac { \pi } { 4 } \right] $ và $ f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )=0 $. Biết $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 8 } $, $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f'\left ( { x } \right )sin2x{ \rm{ d } }x }=-\frac { \pi } { 4 } $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 8 } } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f'\left ( { x } \right )sin2x{ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { sin2x{ \rm{ d } }f\left ( { x } \right ) } =\left | { \left[ f\left ( { x } \right )sin2x \right] } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }sin2x } =f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )sin\left ( { 2.\frac { \pi } { 4 } } \right )-f\left ( { 0 } \right )sin\left ( { 2.0 } \right )-2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x } =f\left ( { \frac { \pi } { 4 } } \right )-2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x } =-2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x } $.
Do đó $ 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 } $.
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } 2x{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { 1+cos4x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x+\frac { 1 } { 8 }sin4x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } =\frac { \pi } { 8 } $.
Bởi vậy:
$ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } 2x{ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 8 }-\frac { \pi } { 4 }+\frac { \pi } { 8 } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )cos2x+cos ^ { 2 } 2x \right]{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left[ f\left ( { x } \right )-cos2x \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=cos2x $.
Nên:
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 8 } } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 8 } } { cos4x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { 1 } { 4 }sin4x } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 8 } }=\frac { 1 } { 4 } $.
Do đó $ 2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 } $.
Mặt khác: $ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } 2x{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left ( { 1+cos4x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x+\frac { 1 } { 8 }sin4x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 4 } } =\frac { \pi } { 8 } $.
Bởi vậy:
$ \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f ^ { 2 } \left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { f\left ( { x } \right )cos2x{ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { cos ^ { 2 } 2x{ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 8 }-\frac { \pi } { 4 }+\frac { \pi } { 8 } $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left[ f ^ { 2 } \left ( { x } \right )-2f\left ( { x } \right )cos2x+cos ^ { 2 } 2x \right]{ \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 4 } } { \left[ f\left ( { x } \right )-cos2x \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=cos2x $.
Nên:
$ I=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 8 } } { f\left ( { 2x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 8 } } { cos4x{ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { 1 } { 4 }sin4x } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 8 } }=\frac { 1 } { 4 } $.