Bài tập nâng cao · Bài 73
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 73
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục thỏa mãn $ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0 $, $ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 } $ và $ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { cosxf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 } $. Tính $ f\left ( { 2018\pi } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Tính: $ \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { cosxf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { \pi } { 4 } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=cosx{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=sinx \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { cosxf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { f'\left ( { x } \right )sinx{ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { 2f'\left ( { x } \right )sinxdx }=-\frac { \pi } { 2 },\,\,\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { sin ^ { 2 } xdx }=\frac { \pi } { 4 }\left ( { 1 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và giả thiết $ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left[ f'\left ( { x } \right )+sinx \right] ^ { 2 } { \rm{ d } } }x=0 $
$ \Rightarrow sinx+f'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-sinx $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=cosx+C $.
Mà $ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0\Rightarrow C=0 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=cosx\Rightarrow f\left ( { 2018\pi } \right )=1 $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=cosx{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=sinx \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { cosxf\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { f'\left ( { x } \right )sinx{ \rm{ d } }x } $
$ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { 2f'\left ( { x } \right )sinxdx }=-\frac { \pi } { 2 },\,\,\int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { sin ^ { 2 } xdx }=\frac { \pi } { 4 }\left ( { 1 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và giả thiết $ \Rightarrow \int _{ \frac { \pi } { 2 } }^{ \pi } { \left[ f'\left ( { x } \right )+sinx \right] ^ { 2 } { \rm{ d } } }x=0 $
$ \Rightarrow sinx+f'\left ( { x } \right )=0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-sinx $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=cosx+C $.
Mà $ f\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=0\Rightarrow C=0 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=cosx\Rightarrow f\left ( { 2018\pi } \right )=1 $.