Bài tập nâng cao · Bài 72
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 72
Cho hàm số $ f(x) $ liên tục $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f(1)=0 $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'(x) \right] ^ { 2 } dx=80, }{ \rm{ } }\int _{ 0 }^{ 1 } { x.f(x)dx=-2 } $.
Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $
Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f(x)dx } $
Xem lời giải
Lời giải
Tích phân từng phần cho
$-2=\int_0^1xf(x)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}f(x)\right]_0^1-\frac12\int_0^1x^2f'(x)\,dx$.
Vì $f(1)=0$, suy ra $\int_0^1x^2f'(x)\,dx=4$, nên $2\int_0^1f'(x)\cdot20x^2\,dx=160$.
Mặt khác, $\int_0^1(20x^2)^2\,dx=80$. Do đó
$\int_0^1\left[f'(x)-20x^2\right]^2dx=80-160+80=0$.
Suy ra $f'(x)=20x^2$ và, từ $f(1)=0$,
$f(x)=\frac{20x^3}{3}-\frac{20}{3}$.
Vậy $\int_0^1f(x)\,dx=-5$.
$-2=\int_0^1xf(x)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}f(x)\right]_0^1-\frac12\int_0^1x^2f'(x)\,dx$.
Vì $f(1)=0$, suy ra $\int_0^1x^2f'(x)\,dx=4$, nên $2\int_0^1f'(x)\cdot20x^2\,dx=160$.
Mặt khác, $\int_0^1(20x^2)^2\,dx=80$. Do đó
$\int_0^1\left[f'(x)-20x^2\right]^2dx=80-160+80=0$.
Suy ra $f'(x)=20x^2$ và, từ $f(1)=0$,
$f(x)=\frac{20x^3}{3}-\frac{20}{3}$.
Vậy $\int_0^1f(x)\,dx=-5$.