Bài tập nâng cao · Bài 71
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 71
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm trên $ \left[ 0;3 \right]; $ $ f\left ( { 3-x } \right ).f\left ( { x } \right )=1,f\left ( { x } \right )\neq -1 $ với mọi $ x\in \left[ 0;3 \right] $ và $ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 } $. Tính tích phân: $ \int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { x.f'\left ( { x } \right ) } { \left[ 1+f\left ( { 3-x } \right ) \right] ^ { 2 } .f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) } }dx $.
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { 1+f\left ( { 3-x } \right ) } \right ) ^ { 2 } .f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) =f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+2.f\left ( { 3-x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+f ^ { 2 } \left ( { 3-x } \right ).f ^ { 2 } \left ( { x } \right ) =f ^ { 2 } \left ( { x } \right )+2.f\left ( { x } \right )+1 =\left ( { f\left ( { x } \right )+1 } \right ) ^ { 2 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { x.f'\left ( { x } \right ) } { \left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=\frac { f'\left ( { x } \right ) } { \left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }{ \rm{ u } }={ \rm{ d } }x \\ v=-\frac { 1 } { 1+f\left ( { x } \right ) } \end{array} \right. $
$ I=\left | { \frac { -x } { 1+f\left ( { x } \right ) } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }+\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dx } { 1+f\left ( { x } \right ) } }=\frac { -3 } { 1+f\left ( { 3 } \right ) }+I_{ 1 } $
$ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { 3 } \right )=2 $
Đặt $ t=3-x\Rightarrow dt=-dx $
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=3 $
$ x=3\Rightarrow t=0 $
$ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dt } { 1+f\left ( { 3-t } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dx } { 1+\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ).dx } { 1+f\left ( { x } \right ) } } $
$ 2I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1+f\left ( { x } \right ) } { 1+f\left ( { x } \right ) }dx }=3\Rightarrow I_{ 1 } =\frac { 3 } { 2 } $
Vậy $ I=-1+\frac { 3 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { x.f'\left ( { x } \right ) } { \left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=x \\ dv=\frac { f'\left ( { x } \right ) } { \left ( { 1+f\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }{ \rm{ u } }={ \rm{ d } }x \\ v=-\frac { 1 } { 1+f\left ( { x } \right ) } \end{array} \right. $
$ I=\left | { \frac { -x } { 1+f\left ( { x } \right ) } } \right ._{ 0 } ^{ 3 }+\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dx } { 1+f\left ( { x } \right ) } }=\frac { -3 } { 1+f\left ( { 3 } \right ) }+I_{ 1 } $
$ f\left ( { 0 } \right )=\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow f\left ( { 3 } \right )=2 $
Đặt $ t=3-x\Rightarrow dt=-dx $
Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=3 $
$ x=3\Rightarrow t=0 $
$ I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dt } { 1+f\left ( { 3-t } \right ) } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { dx } { 1+\frac { 1 } { f\left ( { x } \right ) } } }=\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { f\left ( { x } \right ).dx } { 1+f\left ( { x } \right ) } } $
$ 2I_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ 3 } { \frac { 1+f\left ( { x } \right ) } { 1+f\left ( { x } \right ) }dx }=3\Rightarrow I_{ 1 } =\frac { 3 } { 2 } $
Vậy $ I=-1+\frac { 3 } { 2 }=\frac { 1 } { 2 } $.