Bài tập nâng cao · Bài 70
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 70
Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=3,\,\,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } dx }=\frac { 4 } { 11 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } f\left ( { x } \right )dx }=\frac { 7 } { 11 } $. Giá trị của $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx } $ là
Xem lời giải
Lời giải
Xét $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } }f\left ( { x } \right )dx=\frac { 7 } { 11 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=x ^ { 4 } dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=\frac { x ^ { 5 } } { 5 } \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } }f\left ( { x } \right )dx=\left | { \frac { 1 } { 5 }x ^ { 5 } f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx } =\frac { 3 } { 5 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx }=\left | { \frac { 1 } { 5 }x ^ { 5 } f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx } $ ( vì $ f\left ( { 1 } \right )=3 $)
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx }=5\left ( { \frac { 3 } { 5 }-\frac { 7 } { 11 } } \right )=-\frac { 2 } { 11 } $.
Xét$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=\frac { 4 } { 11 } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx=-\frac { 2 } { 11 } } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 10 } dx=\frac { 1 } { 11 }\left | { x ^ { 11 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 11 } } \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 10 } dx } }=0 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right )+2x ^ { 5 } } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-2x ^ { 5 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+C $. Do $ f\left ( { 1 } \right )=3\Rightarrow C=\frac { 10 } { 3 } $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+\frac { 10 } { 3 } } \right )dx }=\frac { 23 } { 7 } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ dv=x ^ { 4 } dx \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} du=f'\left ( { x } \right )dx \\ v=\frac { x ^ { 5 } } { 5 } \end{array} \right. $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 4 } }f\left ( { x } \right )dx=\left | { \frac { 1 } { 5 }x ^ { 5 } f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx } =\frac { 3 } { 5 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx }=\left | { \frac { 1 } { 5 }x ^ { 5 } f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 1 } { 5 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx } $ ( vì $ f\left ( { 1 } \right )=3 $)
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx }=5\left ( { \frac { 3 } { 5 }-\frac { 7 } { 11 } } \right )=-\frac { 2 } { 11 } $.
Xét$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=\frac { 4 } { 11 } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx=-\frac { 2 } { 11 } } \\ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 10 } dx=\frac { 1 } { 11 }\left | { x ^ { 11 } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 1 } { 11 } } \end{array} \right. $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } }dx+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 5 } f'\left ( { x } \right )dx+4\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 10 } dx } }=0 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ \left ( { f'\left ( { x } \right )+2x ^ { 5 } } \right ) \right] ^ { 2 } }dx=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-2x ^ { 5 } \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+C $. Do $ f\left ( { 1 } \right )=3\Rightarrow C=\frac { 10 } { 3 } $ nên $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )dx }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \frac { -x ^ { 6 } } { 3 }+\frac { 10 } { 3 } } \right )dx }=\frac { 23 } { 7 } $