Bài tập nâng cao · Bài 69
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 69
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ thỏa mãn: $ f\left ( { 1 } \right )=0,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }=7 $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } .f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 3 } $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } .f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 3 } } { 3 } \end{array} \right. $
$ \frac { 1 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } .f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }f\left ( { x } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-1 $
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 6 } \,dx }=\frac { 1 } { 7 } $.
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }+14\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }+49\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 6 } \,{ \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } } \right ) ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }=0 $
Mà $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } } \right ) ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }\geq 0 $. Dấu “=” xảy ra khi $ f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } =0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-7x ^ { 3 } $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-\int { 7x ^ { 3 } \,{ \rm{ d } }x } =-\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+C $.
$ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { 7 } { 4 } $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 7 } { 4 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 7 } { 4 } } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-\frac { 7x ^ { 5 } } { 20 }\left | { 1 \\ 0 } \right .+\frac { 7x } { 4 }\left | { 1 \\ 0 } \right . =-\frac { 7 } { 20 }+\frac { 7 } { 4 }=\frac { 7 } { 5 } $.
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=x ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x \\ v=\frac { x ^ { 3 } } { 3 } \end{array} \right. $
$ \frac { 1 } { 3 }=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } .f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=\frac { x ^ { 3 } } { 3 }f\left ( { x } \right )\left | { 1 \\ 0 } \right .-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } $ $ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-1 $
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 6 } \,dx }=\frac { 1 } { 7 } $.
Ta có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }+14\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }+49\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 6 } \,{ \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } } \right ) ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }=0 $
Mà $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } } \right ) ^ { 2 } \,{ \rm{ d } }x }\geq 0 $. Dấu “=” xảy ra khi $ f'\left ( { x } \right )+7x ^ { 3 } =0\Rightarrow f'\left ( { x } \right )=-7x ^ { 3 } $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\int { f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-\int { 7x ^ { 3 } \,{ \rm{ d } }x } =-\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+C $.
$ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow C=\frac { 7 } { 4 } $ $ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 7 } { 4 } $.
$ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 7x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 7 } { 4 } } \right )\,{ \rm{ d } }x }=-\frac { 7x ^ { 5 } } { 20 }\left | { 1 \\ 0 } \right .+\frac { 7x } { 4 }\left | { 1 \\ 0 } \right . =-\frac { 7 } { 20 }+\frac { 7 } { 4 }=\frac { 7 } { 5 } $.