Bài tập nâng cao · Bài 68
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 68
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $\int_1^{16}\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx=6$ và $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\cos x\,dx=3$. Tính $I=\int_0^4f(x)\,dx$.
Xem lời giải
Lời giải
+ Xét $ I=\int _{ 1 }^{ 16 } { \frac { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ) } { \sqrt[] { x } }{ \rm{ d } }x }=6 $, đặt $ \sqrt[] { x }=t\Rightarrow \frac { dx } { 2\sqrt[] { x } }=dt $
Đổi cận:
$ x $ $ 1 $ $ 16 $
$ t $ $ 1 $ $ 4 $
$ I=2\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }=6 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }=\frac { 6 } { 2 }=3 $.
+ $ J=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x }=3 $, đặt $ sinx=u\Rightarrow cosxdx=du $
Đổi cận:
$ x $ $ 0 $ $ \frac { \pi } { 2 } $
$ u $ $ 0 $ $ 1 $
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )du }=3 $
$ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3+3=6 $.
Đổi cận:
$ x $ $ 1 $ $ 16 $
$ t $ $ 1 $ $ 4 $
$ I=2\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }=6 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }=\frac { 6 } { 2 }=3 $.
+ $ J=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { f\left ( { sinx } \right )cosx{ \rm{ d } }x }=3 $, đặt $ sinx=u\Rightarrow cosxdx=du $
Đổi cận:
$ x $ $ 0 $ $ \frac { \pi } { 2 } $
$ u $ $ 0 $ $ 1 $
$ J=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { u } \right )du }=3 $
$ I=\int _{ 0 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 4 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=3+3=6 $.