Bài tập nâng cao · Bài 67
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 67
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 1;2 \right] $ thỏa mãn $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { 1 } { 3 } $, $ f\left ( { 2 } \right )=0 $ và $ \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=7 $. Tính tích phân $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ u=f\left ( { x } \right )\Rightarrow { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x $, $ { \rm{ d } }v=\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x\Rightarrow v=\frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 } $
Ta có $ -\frac { 1 } { 3 }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { 3 }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=1 $$ \Rightarrow -\int _{ 1 }^{ 2 } { 2.7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-14 $
Tính được $ \int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=7 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x } $$ -\int _{ 1 }^{ 2 } { 2.7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ +\int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } \right]{ \rm{ d } }x } =-\frac { 7 } { 5 } $.
Ta có $ -\frac { 1 } { 3 }=\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\left | { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }.f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 1 } ^{ 2 }-\int _{ 1 }^{ 2 } { \frac { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } } { 3 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ \Leftrightarrow -\frac { 1 } { 3 }=-\frac { 1 } { 3 }\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=1 $$ \Rightarrow -\int _{ 1 }^{ 2 } { 2.7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-14 $
Tính được $ \int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=7 $ $ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x } $$ -\int _{ 1 }^{ 2 } { 2.7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ +\int _{ 1 }^{ 2 } { 49\left ( { x-1 } \right ) ^ { 6 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Rightarrow \int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } -f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )=7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 3 } $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }+C $.
Do $ f\left ( { 2 } \right )=0 $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=\frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } $.
Vậy $ I=\int _{ 1 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ \frac { 7\left ( { x-1 } \right ) ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 7 } { 4 } \right]{ \rm{ d } }x } =-\frac { 7 } { 5 } $.