Bài tập nâng cao · Bài 66
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 66
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 } } $ và$ f\left ( { 1 } \right )=0 $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x $
Xem lời giải
Lời giải
- Tính : $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x+1 } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }= $$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=J+K $.
Tính $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left[ { \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right )+{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x \\ v=x \end{array} \right. $
$ \Rightarrow K=\left | { \left ( { x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ $ \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }{ \rm{ } }f\left ( { 1 } \right )=0 } \right ) $
$ \Rightarrow K=-J-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow I=J+K=-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
- Kết hợp giả thiết ta được :
$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 } \\ -\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 } \end{array} \right. $$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \\ 2\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 2 }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ) } } \end{array} \right. $
- Mặt khác, ta tính được :$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ ) } } $.
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } +2x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right )+x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } } \right ){ \rm{ d } }x }=0 $ $ \Leftrightarrow \int _{ o }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \pi \int _{ o }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } $, trục $ Ox $, các đường thẳng $ x=0 $, $ x=1 $ khi quay quanh trục $ Ox $ bằng $ 0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } =0 $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=-x{ \rm{ e } } ^ { x } $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\int { x{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }=\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } +{ \rm{ C } } $.
- Lại do $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow { \rm{ C } }=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } =-1+\left | { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }={ \rm{ e } }-2 $.
Tính $ K=\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u={ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v={ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=\left[ { \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right )+{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x \\ v=x \end{array} \right. $
$ \Rightarrow K=\left | { \left ( { x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ) } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } =-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $ $ \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }{ \rm{ } }f\left ( { 1 } \right )=0 } \right ) $
$ \Rightarrow K=-J-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $$ \Rightarrow I=J+K=-\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
- Kết hợp giả thiết ta được :
$ \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 } \\ -\int _{ 0 }^{ 1 } { xe ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 } \end{array} \right. $$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } } \\ 2\int _{ 0 }^{ 1 } { x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 2 }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ) } } \end{array} \right. $
- Mặt khác, ta tính được :$ \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } { \rm{ d } }x }=\frac { { \rm{ e } } ^ { 2 } -1 } { 4 }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ ) } } $.
- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } +2x{ \rm{ e } } ^ { x } f'\left ( { x } \right )+x ^ { 2 } { \rm{ e } } ^ { 2x } } \right ){ \rm{ d } }x }=0 $ $ \Leftrightarrow \int _{ o }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow \pi \int _{ o }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } $, trục $ Ox $, các đường thẳng $ x=0 $, $ x=1 $ khi quay quanh trục $ Ox $ bằng $ 0 $
$ \Rightarrow f'\left ( { x } \right )+x{ \rm{ e } } ^ { x } =0 $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=-x{ \rm{ e } } ^ { x } $
$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )=-\int { x{ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x }=\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } +{ \rm{ C } } $.
- Lại do $ f\left ( { 1 } \right )=0\Rightarrow { \rm{ C } }=0\Rightarrow f\left ( { x } \right )=\left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } =\left | { \left ( { \left ( { 1-x } \right ){ \rm{ e } } ^ { x } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }+\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ e } } ^ { x } { \rm{ d } }x } =-1+\left | { { \rm{ e } } ^ { x } } \right ._{ 0 } ^{ 1 }={ \rm{ e } }-2 $.