Bài tập nâng cao · Bài 65
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 65
Cho hàm số $f(x)$ đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn $[0;2]$ và thỏa mãn $[f(x)]^2-f(x)f''(x)+[f'(x)]^2=0$. Biết $f(0)=1$, $f(2)=e^6$. Tính $f(1)$.
Xem lời giải
Lời giải
Vì $f$ đồng biến trên $[0;2]$ nên $f(x)\ge f(0)=1>0$.
Ta có
$\left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=\frac{f''(x)f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2}$.
Theo giả thiết, $f''(x)f(x)-[f'(x)]^2=[f(x)]^2$, do đó
$\left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=1$.
Suy ra $\frac{f'(x)}{f(x)}=x+C$. Lấy tích phân từ $0$ đến $2$:
$\ln f(2)-\ln f(0)=2+2C$.
Vì $f(2)=e^6$, $f(0)=1$ nên $C=2$. Do đó $\frac{f'(x)}{f(x)}=x+2$ và
$\ln f(1)-\ln f(0)=\int_0^1(x+2)\,dx=\frac52$.
Vậy $f(1)=e^{5/2}$.
Ta có
$\left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=\frac{f''(x)f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2}$.
Theo giả thiết, $f''(x)f(x)-[f'(x)]^2=[f(x)]^2$, do đó
$\left[\frac{f'(x)}{f(x)}\right]'=1$.
Suy ra $\frac{f'(x)}{f(x)}=x+C$. Lấy tích phân từ $0$ đến $2$:
$\ln f(2)-\ln f(0)=2+2C$.
Vì $f(2)=e^6$, $f(0)=1$ nên $C=2$. Do đó $\frac{f'(x)}{f(x)}=x+2$ và
$\ln f(1)-\ln f(0)=\int_0^1(x+2)\,dx=\frac52$.
Vậy $f(1)=e^{5/2}$.