Bài tập nâng cao · Bài 64
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 64
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm $ f'\left ( { x } \right ) $ liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ thỏa $ f\left ( { 1 } \right )=0 $, $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }{ \rm{ x } } }=\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $. Tính $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ \left \{ \begin{array}{l} u=f\left ( { x } \right ) \\ { \rm{ d } }v=cos\frac { \pi x } { 2 }{ \rm{ d } }x \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} { \rm{ d } }u=f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x \\ v=\frac { 2 } { \pi }sin\frac { \pi x } { 2 } \end{array} \right. $
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Leftrightarrow \left | { \frac { 2 } { \pi }sin\frac { \pi x } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 2 } { \pi }\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { \pi } { 4 } $.
Lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } } ^ { 2 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }.f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\left ( { -\frac { 2 } { \pi } } \right )\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } } ^ { 2 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { \pi ^ { 2 } }\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 }-\frac { 2 } { \pi }.\frac { \pi } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }=0 $
Vì $ \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \geq 0 $ trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ nên
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }-\frac { \pi } { 2 }{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )+C $ mà $ f\left ( { 1 } \right )=0 $ do đó $ f\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 2 } { \pi } $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Leftrightarrow \left | { \frac { 2 } { \pi }sin\frac { \pi x } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\frac { 2 } { \pi }\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=-\frac { \pi } { 4 } $.
Lại có: $ \int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } } ^ { 2 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 } $
$ \Rightarrow I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }.f'\left ( { x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }-2\left ( { -\frac { 2 } { \pi } } \right )\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } } ^ { 2 } \left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x } =\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=\frac { 4 } { \pi ^ { 2 } }\frac { \pi ^ { 2 } } { 8 }-\frac { 2 } { \pi }.\frac { \pi } { 2 }+\frac { 1 } { 2 }=0 $
Vì $ \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } \geq 0 $ trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ nên
$ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right )-{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $$ \Leftrightarrow -\frac { 2 } { \pi }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }-\frac { \pi } { 2 }{ \rm{ s } }{ \rm{ i } }{ \rm{ n } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $.
Suy ra $ f\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right )+C $ mà $ f\left ( { 1 } \right )=0 $ do đó $ f\left ( { x } \right ){ \rm{ = } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ) $.
Vậy $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ 0 }^{ 1 } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 2 } { \pi } $.