Bài tập nâng cao · Bài 63
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 63
Cho hàm số f có đạo hàm liên tục, $ f\left ( { x } \right )>-1,\,\,f\left ( { 0 } \right )=0 $ và thoả $ f'\left ( { x } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=2x\sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } $. Tính $ f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )\,. $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$ f'\left ( { x } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=2x\sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 }\Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } }=\frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x }\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Tính $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=\sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 }\Rightarrow t ^ { 2 } =f\left ( { x } \right )+1\Leftrightarrow 2t\,{ \rm{ d } }t=f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } } { \frac { 2t{ \rm{ d } }t } { t } }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } } { 2{ \rm{ d } }t }=\left | { 2t } \right ._{ 1 } ^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } }=2\sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 }-2\,\, $ (2)
Tính $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx }\,\,=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 3 } \right ) $
Từ (1), (2), (3) có: $ f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )=3\,. $
$ f'\left ( { x } \right )\sqrt[] { x ^ { 2 } +1 }=2x\sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 }\Leftrightarrow \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } }=\frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }{ \rm{ d } }x }\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $
Tính $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ t=\sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 }\Rightarrow t ^ { 2 } =f\left ( { x } \right )+1\Leftrightarrow 2t\,{ \rm{ d } }t=f'\left ( { x } \right )\,{ \rm{ d } }x $
$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { f'\left ( { x } \right ) } { \sqrt[] { f\left ( { x } \right )+1 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } } { \frac { 2t{ \rm{ d } }t } { t } }=\int _{ 1 }^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } } { 2{ \rm{ d } }t }=\left | { 2t } \right ._{ 1 } ^{ \sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 } }=2\sqrt[] { f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )+1 }-2\,\, $ (2)
Tính $ \int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 2x } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +1 } }dx }\,\,=2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { 3 } \right ) $
Từ (1), (2), (3) có: $ f\left ( { \sqrt[] { 3 } } \right )=3\,. $