Bài tập nâng cao · Bài 59
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 59
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn $ \left[ 0;1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 0 } \right )=1 $ và $ 3\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right )\left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } +\frac { 1 } { 9 } \right] }dx\leq 2\int _{ 0 }^{ 1 } { \sqrt[] { f'\left ( { x } \right ) }f\left ( { x } \right )dx } $. Tính tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f\left ( { x } \right ) \right] ^ { 3 } dx } $:
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết suy ra:
$\int_0^1\left(3\sqrt{f'(x)}f(x)-1\right)^2\,dx\le 0$.
Vì biểu thức dưới dấu tích phân không âm nên $3\sqrt{f'(x)}f(x)-1=0$, hay $f'(x)f^2(x)=\frac19$.
Do $\left[f^3(x)\right]'=3f^2(x)f'(x)$ nên $\left[f^3(x)\right]'=\frac13$, suy ra $f^3(x)=\frac{x}{3}+C$.
Từ $f(0)=1$ suy ra $C=1$. Vậy
$\int_0^1[f(x)]^3\,dx=\int_0^1\left(\frac{x}{3}+1\right)dx=\frac76$.
$\int_0^1\left(3\sqrt{f'(x)}f(x)-1\right)^2\,dx\le 0$.
Vì biểu thức dưới dấu tích phân không âm nên $3\sqrt{f'(x)}f(x)-1=0$, hay $f'(x)f^2(x)=\frac19$.
Do $\left[f^3(x)\right]'=3f^2(x)f'(x)$ nên $\left[f^3(x)\right]'=\frac13$, suy ra $f^3(x)=\frac{x}{3}+C$.
Từ $f(0)=1$ suy ra $C=1$. Vậy
$\int_0^1[f(x)]^3\,dx=\int_0^1\left(\frac{x}{3}+1\right)dx=\frac76$.