Bài tập nâng cao · Bài 60
Bài tập nâng cao Tích phân · Bài 60
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right ) $ có đạo hàm liên tục trên đoạn $ \left[ 0;\,1 \right] $ thỏa mãn $ f\left ( { 1 } \right )=1,\,\int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x=\frac { 9 } { 5 } } $ và $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 2 } { 5 } $. Tính tích phân $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=\sqrt[] { x }\Rightarrow t ^ { 2 } =x\Rightarrow { \rm{ d } }x=2t{ \rm{ d } }t $. Đổi cận $ x=0\Rightarrow t=0;\,\,x=1\Rightarrow t=1 $
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { t.f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { t.f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 5 } $. Do đó $ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 5 } $
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x.f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 5 }=\frac { 3 } { 10 } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 3 } { 5 } $
Ta tính được $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 9 } { 5 } $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x-2\int _{ 0 }^{ 1 } { 3x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )-3x ^ { 2 } =0 $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +C $.
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ nên $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } $
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 4 } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { \sqrt[] { x } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 1 } { t.f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t } $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { t.f\left ( { t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { 1 } { 5 } $. Do đó $ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x.f\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 5 } $
Mặt khác $ \int _{ 0 }^{ 1 } { x.f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\left | { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f\left ( { x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } =\frac { 1 } { 2 }-\int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Suy ra $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \frac { x ^ { 2 } } { 2 }f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 2 }-\frac { 1 } { 5 }=\frac { 3 } { 10 } $$ \Rightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 3 } { 5 } $
Ta tính được $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 9 } { 5 } $.
Do đó $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left[ f'\left ( { x } \right ) \right] ^ { 2 } { \rm{ d } }x-2\int _{ 0 }^{ 1 } { 3x ^ { 2 } f'\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } }+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { 3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=0 $$ \Leftrightarrow \int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { f'\left ( { x } \right )-3x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } { \rm{ d } }x }=0 $
$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )-3x ^ { 2 } =0 $$ \Leftrightarrow f'\left ( { x } \right )=3x ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +C $.
Vì $ f\left ( { 1 } \right )=1 $ nên $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } $
Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { f\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x=\int _{ 0 }^{ 1 } { x ^ { 3 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 4 } $.